משתמש:איתמר שטיין

לפעמים אני מתיימר לטעון שאני דוקטורנט למתמטיקה.

לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של אגודות. (ההוכחה בנפנופי ידיים)

הוכחה שדרגת העמודות שווה לדרגת השורות

למי שביקש ממני היום הוכחה

נזכור כי דרגת העמודות של מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] היא מימד מרחב העמודות (המרחב הנפרש על ידי עמודות [math]\displaystyle{ A }[/math]).

ודרגת השורות של מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] היא מימד מרחב השורות (המרחב הנפרש על ידי שורות [math]\displaystyle{ A }[/math]).

הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה:

תהי [math]\displaystyle{ A \in \mathbb{F}^{m\times n} }[/math] מטריצה כלשהיא ונניח שדרגת העמודות שלה היא [math]\displaystyle{ k }[/math].

כלומר [math]\displaystyle{ dim{C(A)}=k }[/math].

ההוכחה מחולקת לכמה שלבים.

שלב א': למצוא מטריצות [math]\displaystyle{ D,R }[/math] כך שמספר העמודות ב [math]\displaystyle{ D }[/math] ומספר השורות ב [math]\displaystyle{ R }[/math] הם [math]\displaystyle{ k }[/math]. ומתקיים [math]\displaystyle{ A=DR }[/math].

יהיה [math]\displaystyle{ B=\{b_1,\ldots , b_k\}\subseteq \mathbb{F}^m }[/math] בסיס עבור [math]\displaystyle{ C(A) }[/math].

נסמן ב [math]\displaystyle{ D }[/math] את המטריצה שעמודותיה הם איברי [math]\displaystyle{ B }[/math].

כלומר

[math]\displaystyle{ D=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix}\in \mathbb{F}^{m\times k} }[/math]

נשים לב שבגלל ש [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס ל [math]\displaystyle{ C(A) }[/math] הוא פורש כל עמודה של [math]\displaystyle{ A }[/math].

כלומר לכל עמודה [math]\displaystyle{ C_i(A) }[/math] מתקיים ש [math]\displaystyle{ C_i(A)\in span\{b_1,\ldots, b_k\} }[/math].

נסמן [math]\displaystyle{ [C_i(A)]_B=\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ C_i(A) = \alpha_{1,i}b_1+\alpha_{2,i}b_2+\ldots+\alpha_{k,i}b_k }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ C_i(A)=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} = D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} }[/math]

נגדיר מטריצה [math]\displaystyle{ R \in \mathbb{F}^{k \times n} }[/math] לפי [math]\displaystyle{ R_{i,j}=\alpha_{i,j} }[/math].

נשים לב ש הכפל [math]\displaystyle{ DR }[/math] מוגדר היות ומספר העמודות ב [math]\displaystyle{ D }[/math] ומספר השורות ב [math]\displaystyle{ R }[/math] הם [math]\displaystyle{ k }[/math].

נקבל ש[math]\displaystyle{ C_i(DR)=DC_i(R)=D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}=C_i(A) }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ DR=A }[/math].

סוף שלב א'.

שלב ב': לראות ש [math]\displaystyle{ A=DR }[/math] אומר שדרגת השורות של [math]\displaystyle{ A }[/math] קטנה מדרגת השורות של [math]\displaystyle{ R }[/math] ולהסיק מסקנות.

לפי כפל שורה שורה [math]\displaystyle{ R_i(A)=R_i(D)R=D_{i,1}R_1(R)+D_{i,2}R_2(R)+\ldots + D_{i,k}R_k(R) }[/math]

כלומר

[math]\displaystyle{ R_i(A) \in span\{R_1(R),R_2(R), \ldots , R_k(R)\} }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ R(A) \subseteq R(R) }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ dimR(A) \leq dimR(R) \leq k = dimC(A) }[/math]

(מרחב השורות של המטריצה [math]\displaystyle{ R }[/math] לא יכול להיות יותר מ [math]\displaystyle{ k }[/math] כי יש ב [math]\displaystyle{ R }[/math] רק [math]\displaystyle{ k }[/math] שורות.)

זה מוכיח שלכל מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] מתקיים ש [math]\displaystyle{ dimR(A) \leq dimC(A) }[/math].

סוף שלב ב'

שלב ג': סיום.

נשים לב ש [math]\displaystyle{ dimC(A) = dim R(A^t) \leq dimC(A^t) = dimR(A) }[/math]

בסה"כ קיבלנו [math]\displaystyle{ dimC(A) \leq dimR(A) }[/math] וגם [math]\displaystyle{ dimR(A) \leq dimC(A) }[/math] ולכן

[math]\displaystyle{ dimR(A)=dimC(A) }[/math] מש"ל.