הערות:
- לכל שתי פונקציות פיזיקליות
של הזמן נסמן
. למשל,
, כלומר
היא פונקציה של המהירות לפי המיקום.
- לפעמים נסמן
במקום
.
- לכל וקטור
נסמן כ־
את גודלו וכ־
את כיוונו.
- נזכיר שלכל פונקציה
מגדירים
.
הקדמה
יחידות
- זמן – שנייה:
- מרחק – מטר:
- מסה – קילוגרם:
- כוח – ניוטון:
- אנרגיה – ג׳אול:
- תדירות – הרץ:
קבועים
- גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א:
- קבוע הגרביטציה האוניברסלי:
- קבוע פלאנק:
תזכורות ונוסחאות
- מכפלה וקטורית:
- דל:
. הגרדיאנט הוא
, הדיברגנץ הוא
, הרוטור/קרל –
, והלפלסיאן –
.
קואורדינטות
- עבור
קואורדינטות כפונקציות של הזמן מתקיים:
מ־← ל־↓ קרטזיות גליליות כדוריות קרטזיות גליליות כדוריות כאשר
ו־
.
.
קינמטיקה
-
.
- התדירות הזוויתית:
.
- התנע:
.
- תנועה במהירות קבועה:
. אזי
.
- תנועה בתאוצה קבועה:
. אזי
ו־
.
- תנועה בגודל מהירות קבוע:
. זה קורה אם״ם
.
- תנועה כללית במעגל: אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור
שרדיוסו
אזי
,
, ו־
כאשר
נקראת התאוצה הרדיאלית והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־
נקראת התאוצה הטנגנטית/משיקית והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן
נקבל
ו־
.
- תנועה קצובה במעגל: תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־
. לכן
ו־
. התאוצה נקראת צנטריפטלית.
- התדירות מוגדרת כ־
.
- זמן המחזור מוגדר כ־
.
- התדירות מוגדרת כ־
- תנועה קצובה במעגל: תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־
מכניקה ניוטונית
חוקי התנועה של ניוטון
- גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים:
.
- הכוח שפועל על גוף נתון הוא
.
- אם גוף 1 מפעיל כוח
על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח
על גוף 1.
אנרגיה
- האנרגיה הקינטית של גוף היא
.
- העבודה שמבצע כוח
בין הזמנים
עד
היא
.
-
.
- כוח משמר: כוח
המוגדר בתחום פשוט־קשר ומקיים את התנאים השקולים הבאים לכל
:
- האינטגרל
אינו תלוי במסלול אלא רק בנקודות ההתחלה והסיום
.
- לכל מסלול סגור מתקיים
.
- קיימת פונקציה
בתחום כך ש־
לכל מסלול שעובר דרך נקודות ההתחלה והסיום.
- קיימת פונקציה
בתחום כך ש־
.
- מתקיים
.
- האינטגרל
- אנרגיה פוטנציאלית/פוטנציאל של גוף עליו פועל כוח משמר
היא
כאשר
היא נקודת הייחוס.
- אם על גוף פועל כוח משמר אז
.
- אנרגיה כללית של גוף עליו פועל כוח משמר היא
.
- חוק שימור האנרגיה: אם על גוף פועל כוח משמר אז
, כלומר האנרגיה הכללית קבועה.
- פוטנציאל אפקטיבי: האנרגיה הכללית של גוף הנע במישור
היא
. גודל התנע הזוויתי הוא
ולכן
כאשר
הוא הפוטנציאל האפקטיבי. הוא מאפשר להתייחס לבעיה של תנועת הגוף בכיוון הרדיאלי בלבד כבעיה חד־ממדית אשר הפוטנציאל בה הוא הפוטנציאל האפקטיבי.
מערכות גופים
תהא מערכת ובה הגופים . נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף
כ־
.
- המסה הכוללת של המערכת מוגדרת כ־
.
- מרכז המסה של המערכת מוגדר כ־
.
- התנע הכולל של המערכת מוגדר כ־
. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־
.
- לפי החוק השלישי של ניוטון
.
- חוק שימור התנע: אם שקול הכוחות החיצוניים הוא
אז
, כלומר התנע הכולל קבוע.
- אם התנע הכולל קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).
- חוק שימור האנרגיה: אם שקול הכוחות של המערכת הוא כוח משמר אז
.
תנע זוויתי
- התנע הזוויתי של גוף מוגדר כ־
.
- הטורק/מומנט הפיתול של גוף מוגדר כ־
.
- חוק שימור התנע הזוויתי: אם שקול הכוחות פועל במקביל ל־
אז
.
מערכות ייחוס
בפרק זה נתונות שתי מערכות, , כך שאם
גודל דינמי ב־
אז הוא יסומן כ־
ב־
.
- מערכת אינרציאלית: מערכת בה מתקיימים שלושת חוקי ניוטון.
- כל מערכת נייחת היא אינרציאלית.
- טרנספורמציות גליליי: טרנספורמציות לינארית בין מערכות ייחוס. אם
אינרציאלית ו־
מתקבלת מ־
ע״י טרנספורמציית גליליי אז
אינרציאלית.
- מקרים פרטיים:
;
;
כאשר
היא מטריצת סיבוב קבועה;
;
;
. ההרכבות של המקרים הפרטיים הללו יוצרות את חבורת גליליי, שאבריה הם טרנספורמציות גליליי.
- מקרים פרטיים:
- מערכת מואצת:
. אם
אינרציאלית ו־
אז
אינה אינרציאלית, כי
. אם נדמיין שפועל כוח מדומה
על הגוף ב־
אז נקבל מערכת
שאינרציאלית אם
אינרציאלית.
- מערכת מסתובבת:
כש־
היא מטריצת סיבוב סביב ציר מסוים בזווית
. אינרציאליות אינה נשמרת. אם הסיבוב הוא סביב ציר ה־
ו־
אז ניתן לתקן זאת באמצעות שני כוחות מדומים: הכוח הצנטריפוגלי
וכוח קוריוליס
.
מכניקה אנליטית
- פונקציונל: פונקציה
ממרחב פונקציות מסוים לקבוצת סקלרים. בקורס זה נעסוק רק בפונקציונלים מהצורה
כאשר
היא הלגראנז׳יאן של הבעיה.
- מינימיזציה: נרצה למצוא את הפונקציה
שעבורה
ו־
מקבל ערך קיצון מקומי, כאשר
דיפרנציאבילית ו־
גזירה חלקית ברציפות. אזי תנאי הכרחי שעליה לקיים הוא שלכל
מתקיימת משוואת אוילר–לגראנז׳:
.
- תהי
התמרת קואורדינטות מ־
ל־
. אם
מקיימת את משוואת אוילר–לגראנז׳ ל־
אזי גם
מקיימת אותה ל־
.
- פעולה: הפונקציונל
. הלגראנז׳יאן נקרא הלגראנז׳יאן הפיזיקלי של המערכת, והוא אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
- עקרון המילטון/הפעולה המינימלית: הלגראנז׳יאן הפיזיקלי מקיים את משוואת אוילר–לגראנז׳ לכל
.
- תנע מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות
: הווקטור שרכיביו
.
- כוח מוכלל/צמוד לווקטור קואורדינטות
: הווקטור שרכיביו
.
- ממשוואת אוילר–לגראנז׳ נובע ש־
.
- קואורדינטה ציקלית: קואורדינטה
שאינה מופיעה מפורשות בלגראנז׳יאן הפיזיקלי (אלא רק הנגזרת שלה). היא מקיימת
ולכן
.
- התמרת לז׳נדר: תהי
פונקציה קמורה או קעורה של המשתנה
ונגדיר
. לכן
מונוטונית ובפרט קיימת לה פונקציה הופכית
. התמרת לז׳נדר של
מוגדרת כ־
.
-
.
- התמרת לז׳נדר של התמרת לז׳נדר היא הפונקציה המקורית.
- המילטוניאן הוא התמרת לז׳נדר של הלגראנז׳יאן הפיזיקלי כפונקציה של
, כלומר
כאשר
התנע הצמוד ל־
ו־
. הוא אינו אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
- משוואות (התנועה של) המילטון:
. לכן במרחב
־מימדי נקבל
מד״ח מסדר ראשון במקום
מד״ח מסדר שני שהיינו מקבלים ממשוואות אוילר–לגראנז׳.
- בקואורדינטות קרטזיות
התנע המוכלל שווה לתנע הרגיל וההמילטוניאן שווה לאנרגיה הכללית.
- סוגרי פואסון: בתנועת גוף ניתן להציג רבים מהגדלים הדינמיים (דהיינו, תלויים בתנועה) כפונקציות של הקואורדינטות ושל התנע המוכלל. סוגרי פואסון של שני גדלים
כאלה מוגדרים כ־
.
-
.
- מתקיים
כאשר
הוא השינוי ב־
לפי תלות מפורשת בזמן, בניגוד לתלות ע״י
.
- מרחב פאזה: בהנתן מערכת עם
גופים במרחב
־מימדי, משוואות המילטון נותנות
משוואות ב־
נעלמים
(כש־
וקטורי קואורדינטות ו־
תנעים צמודים להם). מרחב הפאזה המתאים הוא מרחב
־מימדי שכל נקודה בו מתוארת באמצעות
כקואורדינטות. כל נקודה כזו מתארת את מצבה של המערכת כולה, וקו במרחב הפאזה מתאר את מצב המערכת לאורך הזמן. אם משוואות המילטון נותנות פתרון יחיד לכל תנאי התחלה אזי בכל נקודה במרחב הפאזה עובר קו כנ״ל יחיד.
- נניח שהלגראז׳יאן הפיזיקלי לא תלוי מפורשות בזמן. נגדיר
ולכל גודל פיזיקלי
נסמן
. אזי
. אם הקואורדינטות קרטזיות אז
ו־
.
- משפט ליוביל: נתון אוסף של מערכות בעלות המילטוניאן זהה אך מצבי התחלה שונים, עם פונקציית צפיפות
המתארת את ההסתברות להיות במצב מסוים. אלמנט השטח
אינווריאנטי בזמן, כלומר
.
- חבורת לי: חבורה שבה פעולות הכפל וההופכי חלקות. כלומר, כל איבר בחבורה
תלוי ב־
פרמטרים (בקורס זה הם ממשיים)
כך שאם
אז
פונקציה חלקה לכל
ואם
אז
פונקציה חלקה לכל
.
ייקרא המימד של החבורה.
- משפחה חד־פרמטרית של חבורת לי נתונה היא תת־חבורה שניתן לאפיין את איבריה ע״י פרמטר אחד, ושהפרמטר המתאים למכפלת שני איברים הוא סכום הפרמטרים של האיברים. כלומר,
לכל איבר
במשפחה ו־
.
- האלגברה של חבורות לי: תהי
חבורת לי עם משפחה חד־פרמטרית
. איבר היחידה הוא
ונגדיר
. אם
אז
היא הנגזרת רכיב־רכיב של
, ותקרא "יוצר אינפיניטסימלי של
" (אך היא אינה בהכרח יוצר של החבורה, או אפילו איבר בה). האלגברה של מטריצות
נקראת האלגברה של
. אם
אז
שייכת לאלגברה.
- מפה אקספוננציאלית: בכל משפחה חד־פרמטרית
כל איבר
שווה ל־
לכל
. כמו כן,
.
- משפט נתר: נבחר משפחה חד־פרמטרית של חבורת לי של סימטריות שלא משנות את הלגראנזי׳אן. כלומר, נקח חבורה של טרנספורמציות שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי תחתן ושתלויות באופן רציף וגזיר חלקית בפרמטר
כלשהו, כאשר
. אזי
.
- הכללה: נניח שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי בסדר ראשון ב־
עבור טרנספורמציה
, כאשר
משתנים בלתי תלויים ו־
פונקציות של
. אזי
. אינווריאנטיות מסדר ראשון משמעה שאם נפעיל את הטרנספורמציה על הפרמטרים של הלגראנז׳יאן ונתייחס לכל חזקה גדולה מ־1 של
כאל 0 אז נקבל את הלגראנז׳יאן המקורי.
- הכללה: נניח שהלגראנז׳יאן אינווריאנטי בסדר ראשון ב־
- שיווי משקל מתקיים בנקודות
שבהן
. אם
מינימום אז זה שיווי משקל יציב, אם קיימת סביבה של
שבה
פונקציה קבועה אז זה שיווי משקל מסתגל ואחרת זה שיווי משקל בלתי יציב.
מכניקת הקוונטים
הקדמה מתמטית
בפרק זה נסמן וקטורי עמודה כ־, אופרטורים ומטריצות כ־
, צמוד הרמטי של מטריצה או אופרטור
, צמוד של סקלר
בתור
, צמוד של וקטור
ומכפלה סקלרית בתור
.
- מרחב הילברט: מרחב וקטורי מעל
עם מכפלה פנימית
כך שהמרחב שלם. כלומר:
לכל
ושיוויון מתקיים אם״ם
.
.
- המכפלה הפנימית לינארית בגורם הימני, כלומר
.
- עבור
, לכל סדרה
עבורה
(סדרת קושי) קיים
כך ש־
.
- אופרטור לינארי במרחב הילברט
הוא העתקה לינארית
. פעולת האופרטור על
תסומן בצורות
.
- אופרטור הרמטי: אופרטור לינארי
כך ש־
. באופן שקול:
.
- הערכים העצמיים של אופרטור הרמטי הם ממשיים.
- מטריצה ממשית היא הרמטית אם״ם היא סימטרית.
- אופרטור אוניטרי: אופרטור לינארי
כך ש־
. באופן שקול:
.
- הערכים העצמיים של אופרטור אוניטרי שווים בערכם המוחלט ל־1.
- אופרטור הטלה: אופרטור לינארי
כך ש־
.
- הערכים העצמיים של אופרטור הטלה הם 0,1.
- מכפלה חיצונית: אופרטור לינארי
. לכל וקטור
מתקיים
.
- הו״ע של מטריצה הרמטית סופית יוצרים בסיס אורתוגנלי של המרחב.
- המשפט הספקטרלי במימד סופי: אם
אופרטור הרמטי ממימד סופי
עם ע״ע
וו״ע מנורמלים מתאימים
(כאשר
) אזי
.
- קומוטטור של אופרטורים הוא
.
- תכונות של קומוטטורים:
- אנטי־קומוטטיביות:
.
- זהות יעקובי:
.
- אנטי־קומוטטיביות:
- אם
אופרטורים הרמטיים אז
הוא אופרטור אנטי־הרמטי, כלומר
. לכן
הרמטי.
- יהיו
מטריצות הרמטיות. הן קומוטטיביות (
) אם״ם קיים בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים משותפים של
, כלומר אם״ם קיימת מטריצה אוניטרית המלכסנת את שתיהן.
- אם
פונקציה הניתנת לפיתוח לטור חזקות נגדיר
(ובאופן דומה אם לפיתוח של
יש חזקות שליליות).
- לכל אופרטור הרמטי
ממימד סופי
עם ע״ע
וו״ע מנורמלים
(כאשר
) , אם
מוגדרת אז היא שווה ל־
.
- מרחב
: מרחב הפונקציות
כך ש־
מתכנס. (שתי פונקציות נחשבות שקולות במרחב אם״ם הן שוות כמעט בכל מקום לפי מידת לבג.) יש לו מכפלה פנימית
. זה מרחב הילברט.
- מרחב
: כמו
, אלא שהפונקציות הן
ו־
. זה מרחב הילברט.
- אופרטור
: אופרטור המסומן
עבורו לכל
,
היא פונקציה
. לכן
, ולפיכך הוא אינו מוגדר בחלק מ־
. זה אופרטור הרמטי.
- אופרטור הגזירה: אופרטור
עבורו
. הוא אינו מוגדר בחלק מ־
. אופרטור הגזירה הוא אנטי־הרמטי.
-
.
- פונקציית הדלתא של דיראק:
עבורה
כך ש־
. היא מקיימת
לכל
רציפה ב־0.
-
.
פיזיקה
- מצב של מערכת פיזיקלית הוא וקטור במרחב הילברט, שנקרא מרחב המצבים. שני מצבים ייחשבו בלתי נבדלים פיזיקלית אם הם שווים עד כדי כפל בקבוע, ולכן נעבוד עם מצבים מנורמלים.
- סופרפוזיציה: מרחב המצבים הוא מרחב וקטורי, לכן צירוף לינארי של מצבים גם הוא מצב, הנקרא סופרפוזציה. הוא מתאר התקיימות בו־זמנית של המצבים שמרכיבים את הצירוף הלינארי, כך שמכשיר מדידה שינסה לבדוק איזה מהם מתקיים ימצא אחד מהם בהסתברות ששווה למקדם של אותו מצב (בהנחה שהסופרפוזיציה מנורמלת).
- התפתחות בזמן: אם
מתאר מצב בזמן
אז לכל שני זמנים
קיים אופרטור אוניטרי
כך ש־
.
- אקסיומת המדידה: לכל גודל מדיד פיזיקלית
מתאים אופרטור הרמטי
. התוצאות האפשריות של מדידה הן הערכים העצמיים של
. אם תוצאת מדידה הייתה
אז מצב המערכת לאחריה יהפוך להטלה של המצב לפני המדידה
אל התת־מרחב של הווקטורים העצמיים המתאימים ל־
. כלומר, אם ל־
יש ריבוי
ו־
הוא אוסף של ו״ע מתאימים ואורתונורמליים אז אופרטור ההטלה הוא
, ומצב המערכת לאחר המדידה הוא
(או הנרמול שלו). ההסתברות לקבל את התוצאה
במדידה היא
. שינוי זה במצב נקרא קריסת פונקציית/וקטור הגל.
- מקרה פרטי: אם
לא מנוון (כלומר מריבוי 1) עם ו״ע
מנורמל אז
ו־
.
- מקרה פרטי: אם
- ערך התצפית הוא תוחלת תוצאת המדידה של
, ומסומן
או
כאשר
המצב לפני המדידה. אזי
.
- אם שני אופרטורים הרמטיים
קומוטטיביים אז המצבים העצמיים משותפים לשניהם. לכן ניתן יהיה לדעת מה תוצאת המדידה של
לפי תוצאת מדידה
. לכן גם מדידה לפי
לא תגרום לשינוי אחרי שמדדנו עם
. מאידך, אם הם אינם קומוטטיביים אז לא ניתן לדעת בו־זמנית בוודאות מלאה את תוצאת המדידה הצפויה בשניהם, ויש חשיבות לסדר המדידות.
- בתורת הקוונטים הלא יחסותית של חלקיק אחד, מצבו של החלקיק מתואר ע״י פונקציה של המיקום,
. אנו נעבוד עם פונקציות מנורמלות.
- אופרטור המיקום של חלקיק בציר ה־
הוא האופרטור שנותן את מיקום החלקיק. הוא שווה לאופרטור ה־
. באופן דומה מגדירים אופרטורים
.
- מתקיים
.
-
היא פונקציה עצמית של האופרטור
עם ע״ע
. לכן נסמן
.
- פונקציית גל
של המיקום של חלקיק היא פונציה כך שצפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק בנקודה
היא
. לכן ההסתברות למצוא את
בקטע
היא
. באופן דומה נגדיר פונקציית גל ל־
.
- אופרטור התנע בציר ה־
הוא
. באופן דומה מגדירים
. אופרטור התנע בשלושה מימדים הוא
.
-
היא הפונקציה
.
- אם
פונקציה עצמית של
עם ע״ע
אז
כאשר
.
- צפיפות ההסתברות של התנע בציר ה־
היא
. כלומר, פונקציה זו היא התמרת פורייה הסימטרית של
.
- מתקיים
.
- מתקיים
.
- עקרון האי־ודאות:
לכל שני אופרטורים הרמטיים
. באופן שקול,
.
- משוואת שרדינגר (התלויה בזמן):
כאשר לכל
,
היא פונקציה
ב־
ו־
הוא אופרטור הרמטי המכונה ההמילטוניאן הקוונטי, והוא מודד את האנרגיה של חלקיק נתון. ההמליטוניאן הרגיל במימד אחד הוא
ולכן אם נחליף את
ב־
נקבל המילטוניאן קוונטי
, ובמספר מימדים
.
- אם
מצב עצמי של ההמילטוניאן הקוונטי עם ע״ע
אזי
. לכן אם
אוסף המצבים העצמיים עם הע״ע המתאימים להם אזי כל פתרון של משוואת שרדינגר ניתן להצגה בצורה
. לפיכך מתקיימת משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן:
. הערכים של
עבורם יש פתרון
נקראים ערכי האנרגיה המותרים, והם היחידים שיכולים להתקבל בניסוי.
- תנע זוויתי: בפיזיקה הקלאסית
. לכן בכל ציר התנע הזוויתי הוא
, וניתן להתייחס לכל אחד מהם כאל אופרטור הרמטי כאשר
אופרטורי המיקום והתנע.
- אם
וקטור יחידה אז
הוא סיבוב בזווית
סביב הציר
. לכן
הם היוצרים האינפיניטסימליים של חבורת הסיבובים ב־3 מימדים,
.
-
.
- הצגה של חבורה היא הומומורפיזם מהחבורה לחבורת האוטומורפיזמים של מרחב וקטורי. בקורס זה נעסוק בהצגות של חבורה
שהן פונקציות
הפיכות המקיימות
. באופן דומה, הצגה של אלגברת לי
היא
המקיימת
.
- הצגה פריקה: הצגה שלכל התמונות שלה יש תת־מרחב אינווריאנטי משותף. כלומר, קיים בסיס שבו כל המטריצות מתפרקות לצורה
.
- אופרטור התנע הזוויתי הכולל בריבוע:
. זה אופרטור הרמטי שכל הע״ע שלו ממשיים אי־שליליים.
-
לכל
. לכן קיים בסיס של וקטורים עצמיים משותפים של
, ונסמנם
כאשר
ו־
.
- משפט הצגות התנע הזוויתי: לכל
קיימת הצגה לא פריקה של האלגברה הנוצרת ע״י
. כל וקטור במרחב הילברט המתאים להצגה זו יקיים
כאשר
. כמו כן, ניתן לבחור את הבסיס למרחב הווקטורי המתאים להצגה כך שווקטורי הבסיס יהיו
כאשר
.
- אופרטורי הסולם של התנע הזוויתי:
ו־
.
- תכונות של
:
-
.
-
.
-
.
-
דוגמאות חשובות
- מתנד (אוסצילטור) הרמוני: מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו.
- חוק הוק: נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה
במצב רפוי ובנקודה
בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני כוח אלסטי
כאשר
הוא קבוע האלסטיות של הקפיץ ו־
התוספת לאורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
- אם נניח שלקצה השני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־
בלבד וש־
היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־
על הגוף תהא
ולכן
כש־
מסת הגוף,
היא התדירות הזוויתית, ו־
היא משרעת התנודה. את המשרעת ואת
ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה.
נבחר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא.
- אם נניח שלקצה השני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־
- חוק הוק: נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה
- מטוטלת מתמטית: חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע ועל הקצה השני מופעל כוח מתיחות
כאשר
וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־
גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע.
אם מטוטלת מוצבת בקצה החופשי ומישור התנועה אנכי אז האנרגיה הקינטית היאכאשר
אורך החוט והאנרגיה הפוטנציאלית היא
. לכן הלגראנז׳יאן הפיזיקלי הוא
ומשוואת אוילר–לגראנז׳ נותנת
.
- כוח נורמלי: משטח מפעיל כוח נורמלי
על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
- כוח חיכוך:
- חיכוך סטטי מתקיים כשאין תנועה. מקדם החיכוך הסטטי של חומר מסומן
ומקיים
כש־
כוח החיכוך הסטטי ו־
הכוח הנורמלי.
- חיכוך קינטי מתקיים כשיש תנועה. מקדם החיכוך הקינטי של חומר מסומן
ומקיים
כש־
כוח החיכוך הקינטי ו־
הכוח הנורמלי.
- בקורס זה כל חומר מקיים
.
- חיכוך סטטי מתקיים כשאין תנועה. מקדם החיכוך הסטטי של חומר מסומן
- החוק הרביעי של ניוטון: בהנתן שני גופים 1,2 מפעיל גוף 2 על גוף 1 כוח כבידה משמר
.
אם נבחר את האינסוף להיות נקודת הייחוס אז הפוטנציאל הגרביטציוני הוא.
- כדה״א מפעיל בקרבתו כוח כבידה
כאשר
מסת הגוף ו־
וקטור יחידה בכיוון מעלה.
אם נבחר את נקודת הייחוס בראשית הצירים אז.
- כדה״א מפעיל בקרבתו כוח כבידה
- כוח מרכזי: כוח שפועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב. כל כוח מרכזי הוא משמר.
- התנגשות פלסטית: הגופים נמצמדים זה לזה לאחר התנגשות. את המהירות המשותפת ניתן למצוא לפי חוק שימור התנע.
- התנגשות אלסטית: הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שלא פועלים על הגופים כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא
ואחריה
. אזי משימור התנע מקבלים
. אם בנוסף הגופים נעים במימד אחד אז מחוק שימור האנרגיה נובע
, ומשתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.
- אורך המסלול שעבר גוף הוא
. לכן
ו־
, עובדה שימושית לצורך הבעת זמן תנועת הגוף לפי הקואורדינטות.
- בור פוטנציאל אינסופי: במימד אחד, נניח שהאנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת ל־
ואינסופית בשאר המקרים. לפי פתרון משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן, כל פונקציה
עצמית מתאפסת לכל
, ובאותו אופן מראים שהיא סינוסיאלית בקטע
. אזי ערכי האנרגיה המותרים הם
לכל
.