משפט ז'ורדן

בלוק ז'ורדן

בלוק ז'ורדן הינו מטריצה ריבועית מהצורה

[math]\displaystyle{ J_n(\lambda):=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots &\vdots \\\vdots & \ddots & \ddots &\lambda & 1\\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda \end{pmatrix} }[/math]

לדוגמא,

[math]\displaystyle{ J_3(0)=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} }[/math], [math]\displaystyle{ J_3(2)=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} }[/math]

נזכר בסימון של סכום ישר של מטריצות, לדוגמא: [math]\displaystyle{ J_1(2)\oplus J_2(0)\oplus J_2(2)= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix} }[/math]

משפט ז'ורדן

תהי A מטריצה ריבועית, כך שהפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים. אזי A דומה למטריצה אלכסונית בלוקים, כאשר כל בלוקיה הם בצורת ג'ורדן. בנוסף, צורה זו יחידה עד כדי סדר הבלוקים.

תכונות של מטריצת ז'ורדן

תהי מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] הניתנת לז'ירדון. אזי:

• כמות בלוקי הז'ורדן בצורת הז'ורדן המתאימים לע"ע מסויים, היא הריבוי הגיאומטרי של אותו ע"ע.
• גודל בולק הז'ורדן המקסימלי של ע"ע מסויים הוא החזקה של הגורם הלינארי המתאים לו בפולינום המינימלי.

דוגמא

מהן צורת הז'ורדן האפשריות עבור מטריצה בעלת פולינום אופייני [math]\displaystyle{ f_A(x)=(x-1)^4(x-2)^3 }[/math] ופולינום מינימלי [math]\displaystyle{ m_A(x)=(x-1)^2(x-2)^3 }[/math]

תשובה

• [math]\displaystyle{ J_2(1)\oplus J_2(1) \oplus J_3(2) }[/math]
• [math]\displaystyle{ J_2(1)\oplus J_1(1) \oplus J_1(1) \oplus J_3(2) }[/math]

דוגמא

הוכיחו כל כל שתי מטריצות מרוכבות ריבועיות מסדר 3 בעלות אותו הפולינום האופייני ואותו הפולינום המינימלי דומות

דוגמא

הוכיחו/הפריכו: מטריצות מרוכבות בעלות אותו פולינום אופייני, אותו פולינום מינימלי ואותו ריבוי גיאומטרי עבור כל ערך עצמי הן דומות

הפרכה

• [math]\displaystyle{ J_3(0)\oplus J_3(0) \oplus J_1(0) }[/math]
• [math]\displaystyle{ J_3(0)\oplus J_2(0) \oplus J_2(0) }[/math]

הוכחה ומציאת מטריצה מז'רדנת

סיכום בנושא משפט ז'ורדן על ידי דר' בועז צבאן

סיכום הכללים, האלגוריתם ודוגמאות על ידי גיא בלשר - גיא

אלגוריתם לז'ירדון מטריצה

תהי A מטריצה כך שהפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים.

• נמצא את הפולינום המינימלי של המטריצה A. נסמן את הערכים העצמיים של המטריצה ב [math]\displaystyle{ \lambda_1,...,\lambda_n }[/math]

• עבור כל ע"ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] נמצא בסיס מז'רדן עבור המרחב העצמי המוכלל [math]\displaystyle{ K_\lambda }[/math] באופן הבא:

• נסמן ב k את החזקה של הגורם האי פריק [math]\displaystyle{ (x-\lambda) }[/math] בפולינום המינימלי

• נמצא בסיס ל [math]\displaystyle{ V_\lambda\cap C([A-\lambda I]^{k-1}) }[/math] באופן הבא:

• נביט במטריצה [math]\displaystyle{ (A-\lambda I)^{k-1} }[/math] ונבחר עמודות [math]\displaystyle{ C_{i_1}([A-\lambda I]^{k-1}),...,C_{i_p}([A-\lambda I]^{k-1}) }[/math] המהוות בסיס למרחב העמודות [math]\displaystyle{ C([A-\lambda I]^{k-1}) }[/math]

• נפתור את מערכת המשוואות [math]\displaystyle{ x_1(A-\lambda I)C_{i_1}([A-\lambda I]^{k-1}) + ... + x_p(A-\lambda I)C_{i_p}([A-\lambda I]^{k-1})=0 }[/math]

• לכל וקטור [math]\displaystyle{ x=(x_1,...,x_n) }[/math] בבסיס למרחב הפתרונות למערכת נסמן [math]\displaystyle{ u_x=x_1e_{i_1}+...+x_pe_{i_p} }[/math]. הערה: שימו לב כי תמיד מתקיים [math]\displaystyle{ C_i(A)=Ae_i }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ e_i }[/math] הוקטור ה-i בבסיס הסטנדרטי.

• עבור כל וקטור x בבסיס למרחב הפתרונות נוסיף את כל הוקטורים במסלול [math]\displaystyle{ (A-\lambda I)^{k-1}u_x, (A-\lambda I)^{k-2}u_x,...,(A-\lambda I)u_x,u_x }[/math] לבסיס בסדר משמאל לימין.

• באופן דומה נמצא בסיס עבור [math]\displaystyle{ V_\lambda\cap C([A-\lambda I]^{k-2}) }[/math] ונוסיף ממנו איברים לבסיס שמצאנו עד כה ובלבד שלא תיווצר תלות לינארית.

• נמשיך בתהליך עבור [math]\displaystyle{ V_\lambda\cap C([A-\lambda I]^{k-3}),...,V_\lambda }[/math] עד שיהיו לנו וקטורים בבסיס כמספר הריבוי האלגברי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].

• נאחד את הבסיסים המז'רדנים למרחבים המוכללים לכדי בסיס B למרחב כולו, זהו הבסיס המז'רדן של המטריצה

• נשים את איברי הבסיס B בעמודות מטריצה P. מתקיים כי [math]\displaystyle{ J=P^{-1}AP }[/math] הינה צורת הז'ורדן של המטריצה A.

דוגמאות

ז'ירדון של מטריצה ניליפוטנטית

מצאו בסיס מז'רדן למטריצה הבאה:

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} }[/math]

• ראשית, נחשב את הפולינום האופייני [math]\displaystyle{ p_A(x)=x^5 }[/math], כלומר זוהי מטריצה ניליפוטנטית

• שנית, נמצא את הפולינום המינימלי [math]\displaystyle{ m_A(x)=x^3 }[/math], בפרט המטריצה ניליפוטנטית מסדר 3

• כעת נמצא בסיס ל [math]\displaystyle{ C(A^{3-1}) }[/math] מהצורה [math]\displaystyle{ A^2v_1,A^2v_2,...,A^2v_k }[/math] באופן הבא:
  • נבחר עמודות של המטריצה [math]\displaystyle{ A^2 }[/math] המהוות בסיס ל- [math]\displaystyle{ C(A^2) }[/math]
  • כל עמודה i שבחרנו ניתן להציג כ- [math]\displaystyle{ A^2e_i }[/math]

[math]\displaystyle{ A^2=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} }[/math]

לכן בסיס למרחב העמודות הינו [math]\displaystyle{ A^2e_1 }[/math]

• כעת המסלול [math]\displaystyle{ A^2e_1,Ae_1,e_1 }[/math] הוא חלק של הבסיס המז'רדן משמאל לימין. שימו לב שסדר הוקטורים בבסיס המז'רדן חשוב מאד.

• השלב הבא הוא להשלים את הבסיס שמצאנו ([math]\displaystyle{ A^2e_1 }[/math]) לבסיס למרחב [math]\displaystyle{ N(A)\cap C(A^{3-2})=N(A)\cap C(A) }[/math] מהצורה [math]\displaystyle{ Av_1,Av_2,...,Av_p }[/math] באופן הבא:
  • נבחר בסיס [math]\displaystyle{ u_1,...,u_r }[/math] למרחב העמודות [math]\displaystyle{ C(A) }[/math]
  • נפתור את המערכת [math]\displaystyle{ A(a_1u_1+...+a_ru_r) }[/math] על מנת למצוא בסיס ל [math]\displaystyle{ N(A)\cap C(A) }[/math]
  • נשמיט וקטורים על מנת שלא תהא תלות לינארית בבסיס שבחרנו עד כה

בדוגמא שלנו, העמודה הראשונה, השנייה והחמישית מהוות בסיס למרחב העמודות של A:

[math]\displaystyle{ u_1= (0,0,0,1,0) }[/math]

[math]\displaystyle{ u_2= (1,0,-1,0,0) }[/math]

[math]\displaystyle{ u_3= (-1,1,1,0,0) }[/math]

כעת נפתור את המערכת [math]\displaystyle{ a_1Au_1+a_2Au_2+a_3Au_3=0 }[/math], זהו בדיוק מרחב האפס של המטריצה שעמודותיה הן [math]\displaystyle{ Au_1,Au_2,Au_3 }[/math]:

[math]\displaystyle{ N \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} = span\{(0,1,0),(-1,0,1)\} }[/math]

כיוון שאלו המקדמים [math]\displaystyle{ a_1,a_2,a_3 }[/math] אנו מקבלים את בסיס ל [math]\displaystyle{ N(A)\cap C(A) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \{u_2,u_3-u_1\}=\{Ae_2,A(e_5-e_1)\} }[/math]

הערה: שימו לב ש[math]\displaystyle{ u3=Ae_5 }[/math] כיוון שזו העמודה החמישית

כיוון ש [math]\displaystyle{ Ae_2=A^2e_1 }[/math] אנו משמטים איבר זה ונשארים עם [math]\displaystyle{ A(e_5-e_1) }[/math]

• המסלול [math]\displaystyle{ A(e_5-e_1),e_5-e_1 }[/math] משלים לנו את הבסיס המז'רדן.

סיכום

הבסיס המז'רדן הינו

[math]\displaystyle{ A^2e_1,Ae_1,e_1,A(e_5-e_1),e_5-e_1 }[/math]

נסמן בP את המטריצה שעמודותיה הן איברי הבסיס

[math]\displaystyle{ P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} }[/math]

אזי (לא במפתיע) מתקיימת המשוואה הבאה:

[math]\displaystyle{ P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} }[/math]

כלומר זו צורת הז'ורדן של המטריצה A.

ז'ירדון של מטריצה עם ע"ע יחיד

מצאו בסיס מז'רדן למטריצה הבאה:

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 2.5 & 2 \\ \end{pmatrix} }[/math]

• ראשית נמצא את הפולינום האופייני [math]\displaystyle{ p_A(x)=(x-2)^6 }[/math], כלומר 2 הינו הערך העצמי היחיד

• לפי משפט קיילי המילטון [math]\displaystyle{ (A-2I)^6=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ A-2I }[/math] ניליפוטנטית.

• נמצא לה צורת ז'ורדן [math]\displaystyle{ J=P^{-1}(A-2I)P = P^{-1}AP - P^{-1}2IP = P^{-1}AP-2I }[/math]

• לכן צורת הז'ורדן של המטריצה A הינה [math]\displaystyle{ J+2I }[/math], כאשר הבסיס המז'רדן הוא אותו בסיס המז'רדן את [math]\displaystyle{ A-2I }[/math].

[math]\displaystyle{ A-2I=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 2.5 & 0 \\ \end{pmatrix} }[/math]

• כעת [math]\displaystyle{ (A-2I)^2=0 }[/math], לכן נמצא בסיס ל[math]\displaystyle{ C(A-2I) }[/math]

• העמודה הראשונה, השנייה והחמישית פורסות את מרחב העמודות של המטריצה ולכן הבסיס הינו [math]\displaystyle{ (A-2I)e_1,(A-2I)e_2,(A-2I)e_5 }[/math]

• בסיס זה מייצר שלושה מסלולים מאורך שתים, ולכן מצאנו מיד בסיס מז'רדן:

[math]\displaystyle{ (A-2I)e_1,e_1,(A-2I)e_2,e_2,(A-2I)e_5,e_5 }[/math]

[math]\displaystyle{ P=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \frac{1}{2} & 0 & 1 & 0 & 2.5 & 0 \\ \end{pmatrix} }[/math]

ושוב, הפלא ופלא, מתקיים:

[math]\displaystyle{ P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix} }[/math]