לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

[math]\displaystyle{ \dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

הודעה חשובה !!! - יש להגיש את התרגילים הנוספים (13 , ו 14 כרשות למי שמגיש ) עד ,וכולל , 16.9.2010 ! למשל לתא הבודקת הילה הלוי בכר , או לתומר ביום רביעי או לניר ביום חמישי - בתרגולי החזרה . אנא הודיעו למי שאתם יודעים שלא יגיע לתרגולים אלו . תודה:)

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1

ארכיון 2 - תרגיל 2

שאלות

שימוש ב"טריקים" במבחן

זה כנראה לא המקום הכי טוב לשאול את זה, אבל אם מותר להשתמש ב"טריקים" במבחן? למשל, למצוא פתרון של מערכת כלשהי ע"י הכפלה משמאל במטריצה ההופכית למטריצת המקדמים (שאותה אפשר לחשב, לפעמים, בעל-פה או בעזרת נוסחאות שלא בהכרח למדנו בכיתה, כמו [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} }[/math]), מבלי לפרט למה הכפלנו דווקא במטריצה הזו. תודה, אור שחף, שיחה, 17:39, 9 באוגוסט 2010 (IDT)

תרגיל 6.37

האם (בשיעורי הבית ובבוחן) צריך להוכיח טענות (לדוגמה בא', שצריך להוכיח ש Ak~Bk) ממש בצמוד להגדרות להוכיח כל שלב, או שאפשר "להשתחרר קצת" ולהוכיח טענות בעזרת פעולות חשבון, בלי להוכיח שניתן לבצע כל שלב כפי שעשיתי אותו? אם השאלה לא מובנת, אסביר בדוגמה- בשאלה 6.37 א'- האם אפשר להוכיח את הטענה כך? -מכיוון שA שקול לB, ידוע ש A=p-1BP, ועכשיו נעלה את 2 האגפים בחזקת K, יוצא ש Ak=(p-1)k*Bk*pk ולכן Ak=((p-1)*p)k*Bk ולכן Ak=(p-1)p*Bk ולכן Ak=(p-1)*Bk*p? או שזו דרך שבה אני משתמש בהרבה פעולות שלא בטוח שניתן לבצע אותן, ולכן אני צריך להשתמש בדרך אחרת, יותר צמודה להגדרות? תודה.

תשובה

יש 2 דברים: 1. מהי רמת הפירוט הנדרשת בתרגיל. אם מבקשים להוכיח ש[math]\displaystyle{ A^k~B^k }[/math] אז צריך להוכיח את כל השלבים בדרך בדיוק כמו שעשינו בכיתה. בבוחן או מבחן אם אתה לא בטוח כמה צריך לפרט אתה יכול לשאול.

2. אסור בתכלית האיסור לרשום דברים לא נכונים בתוך הוכחה, וההוכחה שרשמת למעלה פשוט לא נכונה. הרי אין חילופיות במטריצות ולכן [math]\displaystyle{ (P^{-1}BP)^k }[/math] לא בהכרח שווה ל[math]\displaystyle{ P^{-k}B^kP^k }[/math]. איך השתמשת פה בחילופיות? ניקח דוגמא פשוטה:

[math]\displaystyle{ (abc)^2=abcabc }[/math] אם חילופיות הייתה מתקיימת היה אפשר לשנות את סדר האיברים בכפל ולקבל [math]\displaystyle{ aabbcc=a^2b^2c^2 }[/math]. כאשר אין חילופיות אסור לעשות את זה, כי אתה עלול להגיע לתוצאות לא נכונות. הרי לפי שיטת ההוכחה שלך [math]\displaystyle{ A=P^{-1}BP=P^{-1}PB=B }[/math] ולמעשה מטריצות דומות הן בכלל שוות. אבל זה לא נכון.

סליחה לגבי ההוכחה הלא נכונה, לגמרי שכחתי שאין חילופיות במטריצות, התבלבלתי. אבל לגבי רמת הפירוט- אמרת שצריך לבדוק מהי רמת הפירוט הנדרשת בתרגיל- איך אני יודע מהי רמת הפירוט הנדרשת? למה אם צריך להוכיח שקילות אז צריך להוכיח את כל השלבים בדרך (האם כשצריך להוכיח משהו אחר, לא צריך להוכיח את כל השלבים בדרך?) ולמה במבחן מותר לפרט פחות? תודה רבה.

בנוסף, בכיתה אמרנו שצריך להוכיח את זה באינדוקציה, אך מותר גם להוכיח את זה פשוט ע"י הכפלת p-1BP קיי (K) פעמים? זה נראה לי חוקי (שימוש רק באסוציאטיביות).

שאלה על הקובץ של המרוכבים

באיזה משפט מדובר בפתרון של שאלה 4?

כנראה שהמשפט אומר שלמשוואה ממעלה n (כאשר חייבים להיות כל החזקות של X, כלומר ax^n+bx^(n-1)+...=y) אז יש למשוואה n פתרונות מרוכבים. אני לא זוכר מתי ואם בכלל הוכחנו אותו, אבל כנראה שלא נצטרך להוכיח אותו במבחן..

תשובה

אתם צודקים שאני לא מסביר את עצמי שם היטב, עיקר השאלה מבחינתי היה להראות שאם z שורש של פולינום אזי גם הצמוד שלו שורש.

מי שמתעניין מעבר מוזמן להסתכל על תרגיל 3.9 בעמוד 6 (שגם ממנו צריך להסביר מעבר למה שאני רשמתי בתשובה - התשובה שלי לא הייתה מדוייקת). בכל אופן ההוכחה שהצמוד הוא גם שורש יכולה להופיע בבוחן, אבל הוכחה לגבי שורשי פולינומים לא.

שאלה 6.34

אני עושה את התרגילים מהתרגיל החדש כדי להתאמן לבוחן מחר - אני ממש לא יודע איך אפשר למצוא בעזרת ההופכי של A את הפתרון הכללי של המערכת? שמתי לב לשלושת האיקסים הראשונים (x1,x2,x3) המקדמים שלהם הם המקדים של המטריצה A. גם חישבתי את ההופכי של A. אפשר עזרה או רמז לֶמה צריך לעשות כדי למצוא את הפתרון הכללי של המערכת בעזרת ההופכי של A? תודה.

תשובה

מה הקשר שלמדנו בין פתרון מערכת משוואות וכפל מטריצות?

בכפל מטריצות כל איבר במכפלה שווה לשורה המתאימה מהמט' הראשונה כפול העמודה המתאימה מהמט' השנייה. באמת שאני לא יודע איך זה מתקשר למערכת משוואות (סליחה על בורוּת ושוב תודה מראש)

דירוג מטריצה שקול לכפל במטריצות אלמנטריות

איך מטריצות אלמנטריות קשורות לשאלה הזאת?

מה הקשר בין מטריצה הפיכה למטריצות אלמנטריות? (מומלץ לקרוא את המחברת...)

מרוכבים בבוחן

שלום רב, האם תתכן משוואה מרוכבת כפי שנתנה בדף התרגול בבוחן עצמו? אם כן, מכיוון שאסור שימוש במחשבון, עלינו ללמוד את ערכי הסינוס, קוסינוס וטנגנס של זוויות נפוצות (30, 45, 60, 120, ... ואם כן אז אילו זוויות נפוצות?) או שבמידה ונשאל את הבוחן ייאמר לנו? תודה מראש.

תשובה

שמח ששאלת :)

אם תהיה שאלה כזו במבחן אתם צריכים לדעת מהי התנהגות הסינוס והקוסינוס (מחזור, שיאים, אפסים וכדומה).

תשובה לתשובה :)

ראשית, תודה על התשובה המהירה. ושנית, אני מניח שאנחנו נצטרך לדעת רק את הערכים הבסיסיים יותר, למשל לא יהיה צורך בלדעת מה ערך ה[math]\displaystyle{ \alpha }[/math] במשהו כמו [math]\displaystyle{ cos(\alpha)=0.124 }[/math], נכון? והאם אתם מחיבים כתיבת זוויות ברדיאנים כפי שנכתב בתשובות או שגם מעלות זה בסדר? תודה שוב.

לא תצטרכו לדעת דברים מסובכים כאלה. וכן, מהרגע שנכנסתם בשער האוניברסיטה רק רדיאנים :)

הוכחה שיש איבר הופכי בשדה [math]\displaystyle{ Z_p }[/math]

ההוכחה מורכבת משלב א' בו מוכיחים שאם [math]\displaystyle{ a*b=a*c }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a \neq 0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ b=c }[/math].

בשלב השני, אומרים שיש [math]\displaystyle{ p }[/math] איברים שונים בקבוצה [math]\displaystyle{ A }[/math] [math]\displaystyle{ a*0, a*1, a*2...a*(p-1) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a \neq 0 }[/math], וגם P איברים ב-[math]\displaystyle{ Z_p }[/math], לכן כל האיברים ב-[math]\displaystyle{ Z_p }[/math] נמצאים ב-[math]\displaystyle{ A }[/math] כולל [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. כלומר קיים [math]\displaystyle{ b }[/math] ב-[math]\displaystyle{ Z_p }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ a*b=1 }[/math].

אז לא הבנתי:

1. למה שלב א' לא מספיק בשביל להוכיח שיש איבר הופכי? בשביל מה שלב ב'?

הרי אם הוכחנו את שלב א', זה אומר שיש איבר [math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ a*a^{-1}=1 }[/math]. כלומר יש איבר הופכי ל-[math]\displaystyle{ a }[/math].

2. האם שלב ב' לא מספיק, בלי שלב א' בשביל להוכיח שיש הופכי? הרי הוכחנו שקיים [math]\displaystyle{ b }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ a*b=1 }[/math], כלומר קיים איבר הופכי ל-[math]\displaystyle{ a }[/math].

בקיצור לי נראה כאילו שלב א' ושלב ב' מספיקים כל אחד מהם בשביל להוכיח שיש הופכי.

אפשר הסבר? תודה.

תשובה

שלב א לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש (הדבר תקף לכל שדה ולא רק לשדה [math]\displaystyle{ Z_p }[/math] כלשהו): יהי [math]\displaystyle{ a*b=a*c }[/math] ומכאן ש - [math]\displaystyle{ b=c }[/math]. אבל שים לב שלא רשום לנו בהכרח [math]\displaystyle{ a*b=a*c=1 }[/math], ולכן קיימת דוגמה נגדית לכך ש- c ו- b אינם ההופכיים של a, למשל [math]\displaystyle{ a*b=4=a*c }[/math]. במקרה זה אכן מתקיים ש-[math]\displaystyle{ b=c }[/math] אבל לא מתקיים שהם ההופכיים של a.

שלב ב לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש: הוכחת ש-1 נמצא ב- [math]\displaystyle{ A }[/math] ועפ"י הגדרת הקבוצה [math]\displaystyle{ A }[/math] שנתת יתקיים ש: [math]\displaystyle{ a*p }[/math] גם הוא איבר של [math]\displaystyle{ A }[/math]. יהיו p, t איברים שונים בהם מכפילים את a ומקבלים 1. עפ"י שלב א הוכחת ש-p=t וזוהי סתירה כמובן. ולכן לכל a מ-[math]\displaystyle{ Z_p }[/math] איבר הופכי אחד בלבד, דבר המקיים את תכונת ההופכי.

שים לב שאם מבקשים ממך להוכיח ש- [math]\displaystyle{ Z_p }[/math] מסוים הוא שדה אז ניתן להוכיח את תכונת האיברים ההופכיים ע"י לוח הכפל של השדה המסוים שעבורו התבקשת להוכיח (או להפריך אותה עבור p שאינו ראשוני).

מקווה שעזרתי, גל.

תשובה נוספת(ארז)

גל, אתה קצת מבלבל. זה נכון שהתכונה הראשונה נכונה בשדה. זה מתוך ההנחה שמדובר בשדה, אבל זה מה שצריך להוכיח ואסור להסתמך על כך בהוכחה.

התשובה המדויקת ללמה זה לא מספיק היא פשוטה - זה לא מה שצריך להוכיח. צריך להוכיח שלכל איבר a קיים איבר b כך ש ab=1. זה פשוט לא מה שהשורה הראשונה אומרת, ואני לא רואה איך אפשר להסיק את זה ממנה. (נכון שאם היה הופכי השורה הראשונה ברורה, אבל זו גרירה חד כיוונית).

לגבי השלב השני. ההנחה פה היא שהאיברים בA שונים זה מזה ולכן כל האיברים של [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math] מופיעים שם (בפרט 1). העובדה שהם שונים זה מזה נובעת ישירות משלב א'. בלי שלב א' היה יכול להיות שבA יש פחות מp איברים ולכן אולי אחד חסר שם.

תודה רבה!

שאלה

האם מישהו יכול להגיד מה מבנה הבוחן וכמה זמן יש לנו?

תשובה

3 שאלות מתוך 4, 45 דקות.