קוד:אי שיוויונים של גבולות (סדרות)

נניח $x_n\to L$ אזי

1. לכל $p<L$ קיים $n_1 $ כך ש- $n>n_1 \Rightarrow x_n>p$

2. לכל $q>L$ קיים $n_2 $ כך ש- $n>n_2 \Rightarrow x_n<q$

הוכחה:

אם נציב בהגדרת הגבול של $\lim_{n\to \infty} x_n = L $ את $\epsilon=L-p$ נוכיח ישירות את 1 ואם נציב $\epsilon=q-L$ נוכיח ישירות את 2.

$\\$ \underline{מסקנה 1:} אם $x_n\to a , y_n\to b$ כש- $a<b$ אז $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} x_n<y_n $

\underline{הוכחה:} אם ניקח $p=\frac{a+b}{2}$ שהוא בין $a$ ל-$b$ אז לפי המשפט הקודם מתקיים:

$ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: x_n

n_2}: y_n>p $ ואז עבור $n>n_0=\max\{n_1,n_2\} $ מתקיים ש- $x_n<p<y_n$ . $\\$ \underline{מסקנה 2: גבול שומר אי שיוויון חלש}. כלומר אם $x_n\leq y_n $ ו- $x_n\to a , y_n\to b$ אז $a\leq b$ \underline{הוכחה:} נניח בשלילה ש- $a>b$ אזי מהמסקנה הקודמת $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} y_n<x_n $ בסתירה לנתון. $\\$ \underline{מסקנה 3: גבול סדרה הוא יחיד}. כלומר אם $x_n\to L_1 , x_n\to L_2 $ אזי $L_1=L_2 $ \underline{הוכחה:} $x_n\leq x_n$ ולכן, מהמסקנה הקודמת, $L_1\leq L_2 $ ובאותה דרך $L_2\leq L_1 $. מכאן ש- $L_1=L_2 $