קוד:אריתמטיקה של גבולות של סדרות

יהיו $ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} , \{b_n\}_{n=1}^\infty $ סדרות.

\underline{משפט:} אם $ a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow}0 , \exists M : |b_n|<M $ אז $ \lim_{n\to \infty} a_n b_n = 0 $ (מכפלה של סדרה חסומה בסדרה ששואפת ל-0 זו סדרה ששואפת ל-0)

\underline{הוכחה:} יהי $\epsilon>0 $ . כיוון ש- $a_n$ שואפת ל-0, לכל מרחק שיתנו לי קיים $N$ כך שלכל $n>N$, מרחק איברי $a_n$ מ-0 קטן מהמרחק ההתחלתי שנתנו לי, בפרט עבור המרחק $\frac{\epsilon}{M} $. מתקיים אז ש-

$\exists N \forall n>N : |a_n|<\frac{\epsilon}{M} \Rightarrow \exists N \forall n>N : |a_n| \cdot M <\epsilon $

אבל המרחק של $ a_n b_n $ מ-0 הוא $ |a_n b_n - 0| = |a_n b_n| = |a_n| \cdot |b_n| \leq |a_n| \cdot M $ וראינו בשורה הקודמת שקיים $ N $ כך שלכל $ n>N $ מתקיים ש- $ |a_n| \cdot M \leq \epsilon $ ולכן אם ניקח את אותו $ N $, לכל $ n>N $ יתקיים ש- $|a_n b_n| <\epsilon $, ומכאן, לפי הגדרת הגבול, $ a_n b_n $ שואפת ל-0. משל

דוגמה:

$ a_n = \frac{\sin(n!)}{n} $ היא סדרה שנראית די מסובכת במבט ראשון, אבל היא מתכנסת ל-0. זאת משום שהיא מכפלה של סדרה חסומה, $ \sin(n!) $ (תמיד מתקיים ש- $ |\sin(x)|\leq 1 $ ) וסדרה ששואפת ל-0, $ \frac{1}{n} $

$ \\ $ \underline{תרגיל בית:} נסו להשתמש בכך שעבור 2 מספרים $a,b$ תמיד מתקיים $ | |a|-|b| | \leq |a-b| $ כדי להוכיח שאם $ a_n \to L $ אז $ |a_n| \to |L| $ . הפריכו את המשפט ההפוך.

$\\$ \underline{משפט:} $ a_n \to L \Leftrightarrow a_n-L\to 0 $ .

$\\$ \underline{משפט:} אם 2 הסדרות שואפות ל-0 אז גם הסכום והמכפלה שלהן שואפות ל-0.

\underline{הוכחה:} כדי להוכיח שהמכפלה שואפת ל-0, פשוט נזכור שאחת הסדרות חסומה (כי מתכנסת) והשנייה שואפת ל-0 ולכן המכפלה שלהן שואפת ל-0. עבור סכום, צריך להוכיח ש- $ \forall\epsilon>0 \exists N\forall n>N:|a_n b_n-0|<\epsilon $ . יהי $\epsilon>0$, מהנתון ומהגדרת גבול אנו יודעים ש-

$ \exists N_1\forall n>N_1:|a_n-0|<\frac{\epsilon}{2} $

$ \exists N_2\forall n>N_2:|b_n -0|<\frac{\epsilon}{2} $

לכן אם נגדיר $N=max\{N_1,N_2\}$ יתקיים

$ \forall n>N:|a_n+b_n-0|=|a_n+b_n|\leq |a_n|+|b_n|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon $

מצאנו $ N $ כנדרש. משל