קוד:הגדרת הבסיס הדואלי

כעת נרצה לכל בסיס להתאים בסיס במרחב הדואלי, "בסיס דואלי". ההתאמה הזו תייצר לנו בהמשך את האיזומורפיזם בין המרחב למרחב הדואלי.

\begin{definition}

יהי $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ בסיס של $V$. נגדיר בסיס $B^*=\left \{ \varphi_1,\dots,\varphi_n \right \}$ של $V^*$, שייקרא \textbf{הבסיס הדואלי ל-$B$}, על ידי $$\varphi_i\left(v_j \right )=\delta_{ij}=\left \{ \begin{matrix} 1,\quad i=j\\ 0,\quad i\neq j \end{matrix} \right.$$ לכל $i=1,\dots,n$, ולכל $j=1,\dots,n$, ונמשיך כל $\varphi_i$ לפי לינאריות. כלומר, אם ניקח וקטור כלשהו $v=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n$, אזי $$\varphi_i\left(v \right )= \alpha_1\underbrace{\varphi_i\left(v_1 \right )}_{0} +\cdots+ \alpha_i\underbrace{\varphi_i\left(v_i \right )}_{1} +\cdots+ \alpha_n\underbrace{\varphi_i\left(v_n \right )}_{0} =\alpha_i$$

\end{definition}

מההגדרה קיבלנו את הנוסחה $$\left[v \right ]_B=\left(\begin{matrix} \varphi_1\left(v \right )\\ \vdots\\ \varphi_n\left(v \right ) \end{matrix} \right )$$