קוד:מבחן ההשוואה הגבולי לטורים

\underline{משפט:} יהיו הטורים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ ונניח ש- $\forall n : a_n,b_n\geq 0 $ אזי

1. אם $a_n=O(b_n),n\to\infty $ אז $\sum_{n=1}^\infty b_n<\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n<\infty $

2. אם $a_n=O^* (b_n),n\to\infty $ אז $\sum_{n=1}^\infty b_n<\infty \Leftrightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n<\infty $

\underline{הוכחה:} קודם כל נשים לב שאם 1 מתקיים ו- $a_n=O^* (b_n) $ אז גם $b_n=O^* (a_n) $ וזה אומר שגם $a_n=O(b_n) $ וגם $b_n=O(a_n) $. אם נשתמש עכשיו במשפט 1, משפט 2 מגיע ישירות. כעת נוכיח את 1:

$\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} a_n\leq M\cdot b_n $ וגם $\sum_{n=1}^\infty b_n $ מתכנס ולכן $\sum_{n=n_0}^\infty a_n\leq \sum_{n=n_0}^\infty M\cdot b_n = M\cdot\sum_{n=n_0}^\infty b_n $ והטור האחרון מתכנס, ומזה מסיקים ש- $\sum_{n=n_0}^\infty a_n $ חסום מלעיל ולכן מתכנס. כעת רק נשאר לראות ש- $\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^{n_0-1} a_n + \sum_{n=n_0}^\infty a_n $ וזה כידוע, מתכנס. $\\$ \underline{מסקנה: משפט ההשוואה הגבולי בצורתו המוכרת}

יהיו הטורים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ ונניח ש- $\forall n : a_n,b_n\geq 0 $ וגם הגבול $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L $ קיים. אזי

1. אם $L=0 $ אז $\sum_{n=1}^\infty b_n <\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n <\infty $

2. אם $L\neq 0 $ הטורים "חברים", כלומר אחד מתכנס אם ורק אם השני מתכנס

\underline{הוכחה:}

1. אם $L=0 $ אז $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} \frac{a_n}{b_n}<1 $ ומכאן ש- $a_n=O(b_n) , n\to \infty $. כל מה שנשאר זה להשתמש במשפט הקודם וסיימנו.

2. אם $L\neq 0 $ אז $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} \frac{a_n}{b_n}<2L $ ולכן מהעברת אגפים $a_n=O(b_n) $ . מצד שני כיוון ש- $L\neq 0 $ אז אפשר לעשות את אותו טריק על $\frac{b_n}{a_n} $ והגבול $\frac{1}{L}$ ולקבל ש- $b_n=O(a_n) $ . עכשיו שוב אפשר להפעיל את המשפט הקודם ולקבל את הדרוש. $\\$ דוגמה: נסתכל על $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{an+b} $ עבור $0\neq a,b$ קבועים. נראה ש- $\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{an+b}}=a $ ולכן, ממבחן ההשוואה הגבולי, הטור הזה "חבר" של הטור ההרמוני שמתבדר, ומכאן שהטור מתבדר.