קוד:מבחן ההשוואה הראשון לטורים

\underline{משפט:} יהיו שני טורים עם איברים חיוביים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ כך ש- $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} a_n\leq b_n $ אזי

1. אם $\sum_{n=1}^\infty b_n$ מתכנס אז גם $\sum_{n=1}^\infty a_n$ מתכנס

2. אם $ \sum_{n=1}^\infty a_n $ מתבדר אז גם $ \sum_{n=1}^\infty b_n $ מתבדר $\\$ \underline{הוכחה:} קודם כל נשים לב ש-2 שקול לוגית ל-1 (ידוע ש- $p\rightarrow q \Leftrightarrow \lnot q \rightarrow \lnot p $ ), לכן מספיק להוכיח רק את 1.

נניח שהטור $\sum_{n=1}^\infty b_n $ מתכנס, ולכן גם $\sum_{n=n_0}^\infty b_n $ מתכנס, ומכאן שהוא חסום מלעיל. הסס"ח של $\sum_{n=n_0}^\infty a_n $ מהווים סדרה מונוטונית עולה (זהו טור שכל איבריו חיוביים) וכיוון שהם קטנים מהסס"ח של $\sum_{n=n_0}^\infty b_n $ , הסופרימום שלהם קטן או שווה לסופרים של $\sum_{n=n_0}^\infty b_n $ , ומכאן שזוהי סדרה מונוטונית עולה וחסומה ולכן מתכנסת. כעת ברור ש- $\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^{n_0-1} + \sum_{n_0}^\infty a_n $ מתכנס. $\\$ דוגמה: הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} $ מתבדר או מתכנס? נראה כי $\sqrt{n}\leq n\Rightarrow \frac{1}{n}\leq \frac{1}{\sqrt{n}} $ וכיוון שהטור ההרמוני $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} $ מתבדר אז לפי מבחן ההשוואה הראשון גם הטור שלנו מתבדר.