קוד:מבחן השורש של קושי להתכנסות טורים

\underline{משפט:} נתון הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ שכל איבריו חיוביים. נסמן $\overline{\lim_{n\to\infty}} \sqrt[n]{a_n} = q $ אזי מתקיים:

1. אם $q>1 $ (גם אינסופי זה בסדר) הטור מתבדר

2. אם $q<1 $ אז הטור מתכנס

\underline{הוכחה:}

1. גבול עליון הוא גבול חלקי, ולכן קיימת תת סדרה כך ש- $\exists_{k_0} \forall_{k>k_0} \sqrt[n_k]{a_{n_k}} > 1 $ ולכן $\forall_{k>k_0} a_{n_k}>1 $ ואז $a_n\not\to 0 $. כלומר הטור לא יכול להתכנס.

2. $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} \sqrt[n]{a_n} < q' $ עבור $q<q'<1 $ ולכן $\forall_{n>n_0} a_n < q'^n $ . ממבחן ההשוואה הראשון משום ש- $\sum q'^n $ מתכנס אז גם הטור שלנו.

$\\$ דוגמה: כמו במבחן דלאמבר, גם פה הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} $ מתכנס/מתבדר כתלות ב- $p$ אבל הגבול הרצוי ממבחן השורש של קושי הוא 1, מה שמראה שגבול 1 לא מבטיח התכנסות ולא התבדרות.