קוד:מכפלת טורים

יהיו 2 טורים $(B)\sum_{n=0}^\infty b_n , (A) \sum_{n=0}^\infty $ . נגדיר את הטור $(C)\sum_{n=0}^\infty c_n $ כאשר\\ $c_n=\sum_{k=0}^n= a_k b_{n-k} $

\begin{thm} נניח שהטורים $A,B$ מתכנסים בהחלט אזי גם $C$ מתכנס בהחלט ו-$C=A\cdot B$ \end{thm}

\begin{proof} קודם נראה ש-$C$ מתכנס בהחלט

$$ \sum_{n=0}^m |c_n| = \sum_{n=0}^m \left |\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right |\leq \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^n |a_k b_{n-k}| \leq$$ $$ \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^m |a_n| |b_k|= \sum_{n=0}^m |a_n| \cdot \sum_{k=0}^m |b_k| = A'\cdot B'$$

כאשר $A',B' $ זה טור הערכים המוחלטים של $A,B$ וידוע שהם קיימים וסופיים משום שהטורים מתכנסים בהחלט. לכן קיים חסם מלעיל לסדרת הסכומים החלקיים של $C'_n $ ואז הטור מתכנס בהחלט.

נסמן את הסס"ח של $A$ ב-$A_n$ ואת הסס"ח של $B$ ב- $B_n$. מתקיים ש-

$C_n = \sum_{m=0}^n \sum_{k=0}^m a_k b_{m-k} \leq \sum_{k=0}^n \sum_{m=0}^n a_k b_m $

\end{proof} <tex>קוד:זנב</tex> </latex2pdf>