קוד:משפט הסנדוויץ' (סדרות)

\underline{משפט הסנדוויץ':} תהיינה הסדרות $\{x_n\}_{n=1}^\infty , \{a_n\}_{n=1}^\infty , \{b_n\}_{n=1}^\infty $ כך ש- $ \forall n : a_n\leq x_n \leq b_n $ ובנוסף $\lim_{n\to \infty} a_n = \lim_{n\to \infty} b_n = L $ אזי הסדרה $x_n$ מתכנסת והגבול שלה הוא $L$. (שם המשפט נובע מכך שהסדרה האמצעית היא באמצע של מעין סנדוויץ' שיוצרות הסדרות $ a_n,b_n $ ששואפות לאותו גבול. פרופסור מארק אגרנובסקי מספר שברוסיה נהוג לקרוא למשפט הזה המשפט על שיכור ו-2 שוטרים משום שהסדרות $a_n,b_n$ הן כמו שוטרים שהולכים למקום מסוים $L$ וגורמים שיכור שהולך ביניהם $x_n$ ללכת איתם לאותו מקום)

\underline{הוכחה:} אם $L=\infty$ אז פשוט עבור $M>0 $ ידוע שיש $n_0 $ שמתקיים עבורו $\forall_{n>n_0} a_n>M $ ואז גם $x_n\geq a_n>M $. באותו אופן אם $L=-\infty$ אז נעשה אותו דבר רק עם העובדה ש- $x_n\leq b_n\leq M $ .

אם $L\in \mathbb{R} $, יהי $\epsilon>0 $. ידוע אז ש- $ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: L-\epsilon<a_n , \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: b_n<L+\epsilon $ ואז עבור $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ מתקיים ש- $\forall_{n>n_0} : L-\epsilon<a_n\leq x_n\leq b_n < L+\epsilon $ ומכאן, ש- $|x_n-L|<\epsilon $ ואז לפי ההגדרה, $ x_n\to L $ . משל