קוד:משפט פיתגורס במרחב מכפלה פנימית כללי

כעת נוכיח הכללה של משפט פיתגורס.

\begin{thm} משפט פיתגורס

יהי $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ בסיס אורתונורמלי של $V$, ויהי $u\in V$, $u=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n$. אזי $\left \| u \right \|^2=\left | \alpha_1 \right |^2+\cdots+\left|\alpha_n\right|^2$

\end{thm}

\begin{proof}

$$\left \| u \right \|^2=\left \langle u,u \right \rangle=\left \langle \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n,\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n \right \rangle=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\alpha_i\overline{\alpha_j}\left \langle v_i,v_j \right \rangle=\\$$ $$=\sum_{i=1}^n\alpha_i\overline{\alpha_i}\underbrace{\left \langle v_i,v_i \right \rangle}_{=1}=\sum_{i=1}^n\left | \alpha_i \right |^2$$

\end{proof}