קוד:משפטי וויירשטראס לפונקציות רציפות

\begin{theorem} תהי $f:[a,b]\to\mathbb{R} $ רציפה בכל הקטע אזי

1. $f$ חסומה בקטע $[a,b] $

2. $\exists_{x_{\text{min}},x_{\text{max}}} : f(x_{\text{min}})=\inf_{x\in(a,b)} f(x) , f(x_{\text{max}})=\sup_{x\in(a,b)} f(x) $ \end{theorem}

\begin{proof} 1. נניח בשלילה ש-$f$ לא חסומה. אזי $\forall n \exists_{x_n} : |f(x_n)|>n $ אבל $a\leq x_n \leq b $ ולכן זוהי סדרה חסומה ולפי בולצאנו ווירשטראס יש לה תת סדרה מתכנסת $x_{n_k}\to x_0 $ אבל מהרציפות של $f $ נקבל ש- $f(x_{n_k})\to f(x_0) $ למרות שמההגדרה של $x_{n_k}$, מתקיים ש- $|f(x_{n_k})|\to \infty $ בסתירה.

2.נסמן את החסמים בתור $M,m$ ונשים לב - $-m$ החסם העליון של $-f$ ולכן אם נוכיח את הטענה עבור החסם העליון, הטענה ל-$m$ תתקבל ישירות. נניח בשלילה ש- $f$ לא מקבלת את הערך $M$, לכן אפשר להגדיר את $g(x)=\frac{1}{M-f(x)} $ והיא תהיה רציפה משום שהמכנה לא מתאפס. אבל לפי משפט 1 $g$ חסומה ומכאן ש- $\frac{1}{M-f(x)}<C \Rightarrow M-f(x)>\frac{1}{C} \Rightarrow M-\frac{1}{C}>f(x) $ בסתירה להגדרה ש- $M$ חסם עליון \end{proof}