קוד:נגזרת חסומה ורציפות במ"ש

\begin{thm} תהי $f\in D(a,b) $ כך ש- $\exists M \forall x \in (a,b) : |f'(x)|\leq M $ אזי $f$ רבמ"ש ב- $(a,b) $ \end{thm}

\begin{proof} אם $M=0 $ הפונקציה קבועה ואז רבמ"ש. אחרת, יהי $\varepsilon>0 $ וניקח $\delta=\frac{\varepsilon}{M} $ ואז נראה שעבור $|x'-x|<\delta $ מתקיים

$$|f(x')-f(x)|\leq M(x'-x)<M\delta=\varepsilon $$ \end{proof}

דוגמה:

$f(x)=\sqrt{x} $ רציף במ"ש ב- $[0,\infty) $. הסבר:

$f$ רציפה במ"ש ב- $[0,1] $ משום שרציפה על קטע סגור ואז לפי קנטור רבמ"ש שם.

$f$ רציפה במידה שווה ב- $[1,\infty) $ משום ש- $|f'(x)|=\frac{1}{2\sqrt{x}} < \frac12 $ ואז הנגזרת חסומה.

לכן $f$ רבמ"ש על איחוד הקטעים וסיימנו.