קוד:סדרות קושי

\underline{הגדרה:} אומרים שסדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ היא סדרת קושי (Cauchy sequence) אם מתקיים התנאי: $\forall_{\epsilon>0}\exists_N \forall_{n,m>N} : |x_n - x_m| <\epsilon $

כלומר המרחק בין איברי הסדרה קטן באופן כזה שמאיזהשהו מקום בסדרה והלאה, מרחק בין 2 איברים (שיכולים להיות במקומות רחוקים כרצוננו אחד מהשני בסדרה) יהיה קטן כרצוננו.

$\\$ \underline{משפט:} בכל תת קבוצה $A\subseteq \mathbb{R} $, אם סדרה שמורכבת מאיברי הקבוצה מתכנסת אז היא סדרת קושי (בפרט זה נכון לכל סדרה ב- $\mathbb{R} $ ). \underline{הוכחה:} יהי אפסילון גדול מ-0, אזי $\exists_N \forall_{n>N} |x_n-L|<\frac{\epsilon}{2} $. לכן מתקיים:

$\forall_{n,m>N}: |x_n-x_m|=|(x_n-L)+(L-x_m)|\leq |x_n-L| + |L-x_m| <\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon $

$\\$ \underline{הגדרה:} $A\subseteq \mathbb{R} $ נקרא "שלם" אם כל סדרת קושי המורכבת מאיבריו מתכנסת לאיבר בתוכו.

\underline{דוגמה:} $\mathbb{Q} $ לא שלם, כיוון שאם ניקח את $ 3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,\cdots \to \pi\not\in\mathbb{Q} $ . זוהי סדרה שמתכנסת ב- $\mathbb{R}$ ולכן, מהמשפט הקודם, היא סדרת קושי. אבל היא סדרת קושי שמורכבת מאיברים רציונאליים ולא מתכנסת למספר רציונאלי, ולכן קבוצת המספרים הרציונאליים לא מהווה מרחב שלם.

$\\$ \underline{מסקנה מהמשפט הקודם:} בכל מרחב שלם, סדרה מתכנסת אם ורק אם היא סדרת קושי.

\underline{הוכחה:} מימין לשמאל זה נכון באופן כללי מהמשפט הקודם (סדרה מתכנסת היא תמיד סדרת קושי) ומשמאל לימין נובע מההגדרה של מרחב שלם, שדורש שכל סדרת קושי תתכנס למשהו בתוכו, ובפרט תתכנס.

$\\$ \underline{משפט: $ \mathbb{R} $ שלם}

\underline{הוכחה:} נניח $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ סדרת קושי, אזי לכל אפסילון חיובי $\exists_N \forall_{n,m>N} |x_n-x_m|<\epsilon $ ואז $x_m-\epsilon<x_n<x_m+\epsilon $ וזה נכון לכל $n>N$ ולכן $x_m-\epsilon \leq l_{N+1} \leq L_{N+1} \leq x_m+\epsilon $ . מהעברת אגפים מקבלים ש- $ 0\leq L_{N+1}-l_{N+1}\leq 2\epsilon $ . אם ניקח לכן סדרת אפסילונים ששואפת ל-0 ובהתאם אליהם ניקח את ה- $N$ים המתאימים וממשפט הסנדוויץ' נקבל שהגבול העליון והתחתון שווים, ואז לפי משפט הסדרה מתכנסת אליהם.

$\\\\$ דוגמה: נסתכל על $x_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n} $. נראה כי המרחק בין איברים עוקבים בסדרה הולך ושואף ל-0: $x_{n+1}-x_n=\frac{1}{n+1}\to 0 $ , אף על פי כן, הסדרה לא תתכנס. כל סדרה מתכנסת היא סדרת קושי, ולכן אם נראה שהסדרה הזאת לא סדרת קושי, אז בהכרח היא לא מתכנסת. אכן, נראה כי $ x_{2n}-x_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots + \frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\cdots +\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2} $, כלומר אין מקום בו משם והלאה המרחק בין כל 2 איברים קטן מחצי, ולכן זו לא סדרת קושי.

מסקנה: הטור ההרמוני, שמוגדר להיות $ \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $ שווה לאינסוף.

הסבר: הסדרה הזאת היא מונוטונית עולה ולכן מתכנסת ל- $\sup x_n$ אבל אם זה היה מספר ממשי היינו מקבלים סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת, בסתירה למה שהרגע הוכחנו. לכן בהכרח $\sup x_n = \infty $ ולשם הסדרה שואפת.