88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעה/בוחן 1 - פתרון
תוכן עניינים
שאלה 1 (30 נק)
סעיף א
תהיינה שתי סדרות כך ש:
- 1.
- 2.
הוכיחו/הפריכו:
סעיף ב
תהי סדרה וקבוע כך ש
הוכיחו כי מתכנסת.
(רמז: יש בשאלה הזו קושי)
שאלה 2 (40 נק)
סעיף א
לכל שתי קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל.
- 1. הוכיחו/הפריכו:
- 2. הוכיחו/הפריכו:
פתרון:
1) לא נכון. ניקח ו
אז
אבל
2) נכון.
בלי הגבלת כלליות נניח ש ולכן
נסמן .
נוכיח ש מקיים את שתי התכונות של
תכונה א) חסם מלעיל: יהי . אם אז בוודאי
ואם אז
ולכן אכן חסם מלעיל של
תכונה ב) חסם מלעיל הכי קטן: נניח ש (צריך להראות ש אינו חסם מעליל של )
היות ש אז קיים כך ש (לפי תכונה של חסם עליון של )
אבל בוודאי כלומר קיים איבר כך ש ולכן אינו חסם מלעיל של כנדרש.
אכן הוכחנו כי חסם עליון של . ובזה סיימנו.
סעיף ב
נניח .
- הוכיחו/הפריכו:
פתרון: הטענה נכונה.
תהי תת סדרה של כך ש
(הרי יש תת סדרה שמתכנסת לגבול העליון)
היות ש ,
אז כמובן ש
(כי תת סדרה של סדרה מתכנסת, מתכנסת לאותו מספר).
ולכן
כלומר הוא גם גבול חלקי של ולכן
(כי הוא הגבול החלקי הגדול ביותר)
בדרך דומה מוכיחים
ולכן
כנדרש
שאלה 3 (30 נק)
סעיף א
תהי סדרה המוגדרת ע"י כלל הנסיגה
הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה
(בכתיבה)
נרצה להוכיח כי הסדרה מונוטונית עולה וחסומה.
ראשית נוכיח שהסדרה חיובית (מה שדי ברור). למען הדיוק נוכיחזאת באופן מסודר באינדוקציה.
כלומר רוצים להוכיח ש .
עבור אכן .
1) מונוטונית עולה: צריך להראות ש עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \geqa לא מוכרת): a_{n+1}\geqa_n
עבור: זה אכן נכון כי
נניח שהטענה הכונה עבור כלומר: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \geqa לא מוכרת): a_{n+1}\geqa_n
נוכיח עבור כלומר נוכיח כי
זה נכון מפני ש
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): a_{n+2}=\frac
סעיף ב
קבעו אם הטורים הבאים מתכנסים