קוד:המטריצה המייצגת של ההעתקה הצמודה

הגדרנו את ההעתקה הצמודה, והוכחנו שהיא קיימת ויחידה. כעת, נשאל - מה עם המטריצה המייצגת שלה? כעת, נקבל גם הבהרה לסימון $T^*$:

\begin{thm}

תהי $T^*:W\rightarrow V$ ההעתקה הצמודה ל-$T:V\rightarrow W$. יהי $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ בסיס אורתונורמלי של $V$, יהי $B'=\left \{ w_1,\dots,w_m \right \}$ בסיס אורתונורמלי של $W$, ותהי $A$ המטריצה המייצגת של $T$ יחסית ל-$B,B'$. תהי $A'$ המטריצה המייצגת של $T^*$ יחסית ל-$B,B'$. אזי $A'=A^*=\overline{A}^t$.

\end{thm}

\begin{proof}

נחשב את שני הצדדים של השוויון $\left \langle T\left(v \right ),w \right \rangle=\left \langle v,T^*\left(w \right ) \right \rangle$ עבור $v=v_i$, $i=1,\dots,n$ ועבור $w=w_j$, $j=1,\dots,m$. $$\left \langle T\left(v_i \right ),w_j \right \rangle=\left[T\left(v_i \right ) \right ]_{B'}^t\overline{\left[w_j \right ]_{B'}}=\left(A\left[v_i \right ]_B \right )^tA^t\overline{\left[w_j \right ]_{B'}}=e_i^tA^te_j=a_{ji}$$ $$\left \langle v_i,T^*\left(w_j \right ) \right \rangle=\left[v_i \right ]_B^t\overline{\left[T^*\left(w_j \right ) \right ]_B}=\left[v_i \right ]_B^t\overline{A'\left[w_j \right ]_{B'}}=e_i^t\overline{A'}e_j=\overline{a_{ij}'}$$

לפי השוויון $\left \langle T\left(v \right ),w \right \rangle=\left \langle v,T^*\left(w \right ) \right \rangle$, נקבל $\overline{a_{ij}'}=a_{ji}$, כלומר $a_{ij}'=\overline{a_{ji}}$. בסך הכל, $A'=A^*=\overline{A}^t$.

\end{proof}