88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/3

חזרה למערכי התרגול

מטריצות הפיכות

הגדרה: מטריצה [math]\displaystyle{ A\in \mathbb{F}^{n\times n} }[/math] נקראת הפיכה אם קיימת מטריצה B כך ש [math]\displaystyle{ AB=BA=I }[/math]. במקרה זה, מטריצה B נקראת ההופכית של A ומסומנת [math]\displaystyle{ B=A^{-1} }[/math].

הערות

• מטריצה הפיכה היא בהכרח ריבועית
• המטריצה ההופכית [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] היא יחידה.

דוגמא:

ההופכית של המטריצה [math]\displaystyle{ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) }[/math] היא [math]\displaystyle{ A }[/math] עצמה.

נבדוק, אכן מתקיים ש [math]\displaystyle{ AA=I }[/math] (קל לראות בעזרת כפל שורה-שורה)

משפט: אם A ריבועית ו[math]\displaystyle{ AB=I }[/math] אזי גם [math]\displaystyle{ AB=BA=I }[/math] וB הינה ההופכית של A. כלומר מטריצה שהפיכה מצד אחד הפיכה משני צדדים.

תרגיל: הוכח כי [math]\displaystyle{ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} }[/math]

פתרון: מספיק להוכיח רק כי [math]\displaystyle{ (AB)(B^{-1}A^{-1})=I }[/math] (לפי משפט ממוקדם)

ואכן, בגלל קיבוציות כפל מטריצות + הגדרת הופכית, נקבל כי [math]\displaystyle{ A(BB^{-1})A^{-1}=A(I)A^{-1}=AA^{-1}=I }[/math]

תרגיל (הכללה): יהיו [math]\displaystyle{ Aֹ_1,A_2,\dots A_k }[/math] מטריצות אזי

המכפלה [math]\displaystyle{ A_1\cdot A_2\cdots A_k }[/math] הפיכה אמ"מ לכל [math]\displaystyle{ i }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ A_i }[/math] הפיכה (כל המטריצות הפיכות). במקרה זה [math]\displaystyle{ (A_1\cdot A_2\cdots A_k)^{-1} = A_k^{-1} \cdot A_{k-1}^{-1}\cdots A_1^{-1} }[/math]

הוכחה (חלקית): כיוון ראשון ([math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]) : בדיקה ישירה כי [math]\displaystyle{ (A_1\cdot A_2\cdots A_k)^{-1} = A_k^{-1} \cdot A_{k-1}^{-1}\cdots A_1^{-1} }[/math]

כיוון שני ([math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math]) : נתון שהמכפלה הפיכה. צריך להוכיח שכל אחת מהמטריצות הפיכה. נסמן את ההופכית של המכפלה ב [math]\displaystyle{ B }[/math] אזי מתקיים לפי הגדרה כי [math]\displaystyle{ A_1\cdot A_2\cdots A_k\cdot B=I }[/math] ומכאן רואים ישירות כי [math]\displaystyle{ A_1^{-1}=A_2\cdots A_k\cdot B }[/math].

כעת נכפיל ב [math]\displaystyle{ A_1^{-1} }[/math] משמאל וב [math]\displaystyle{ A_1 }[/math] מימין ונקבל כי [math]\displaystyle{ A_2\cdots A_k\cdot B\cdot A_1=I }[/math] ומכאן ש [math]\displaystyle{ A_2^{-1}= A_3\cdots A_k\cdot B\cdot A_1 }[/math] וכן על זאת הדרך...

מסקנה: אם [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה אזי לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] טבעי מתקיים כי [math]\displaystyle{ (A^{n})^{-1}=(A^{-1})^n }[/math]. נגדיר את [math]\displaystyle{ A^{-n} }[/math] כאחד מהביטויים הנ"ל.

!הערה! לא ניתן לדעת שום דבר על הביטוי [math]\displaystyle{ (A+B)^{-1} }[/math]. למשל

• [math]\displaystyle{ A=I,B=-I }[/math] הפיכות ו [math]\displaystyle{ A+B=0 }[/math] לא הפיכה.
• [math]\displaystyle{ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right),\, B=\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right) }[/math]

לא הפיכות ו [math]\displaystyle{ A+B=I }[/math] הפיכה.

תרגיל

תרגיל: תהא [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] מטריצה עם שורת אפסים. הוכח: [math]\displaystyle{ A }[/math] לא הפיכה.

פתרון

תהא שורה [math]\displaystyle{ i }[/math] שורת האפסים של [math]\displaystyle{ A }[/math].

אזי לכל מטריצה [math]\displaystyle{ B }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ R_{i}(AB)=R_{i}(A)B=\vec{0}B=\vec{0} }[/math] (לפי כפל שורה שורה)

בפרט לא קיימת [math]\displaystyle{ B }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ AB=I }[/math] כיוון ש [math]\displaystyle{ R_i(I)\neq 0 }[/math].

תרגיל 6.1 וחצי

הוכח שאם A הפיכה אזי גם המשוחלפת שלה הפיכה ומתקיים [math]\displaystyle{ (A^t)^{-1}=(A^{-1})^t }[/math]. הסק שאם A הפיכה וסמטרית אזי גם ההופכית שלה סימטרית.

פתרון

נניח A הפיכה, אזי קיימת לה הופכית כך ש [math]\displaystyle{ AA^{-1}=I }[/math]. נשחלף את שני האגפים ונקבל [math]\displaystyle{ (A^{-1})^tA^t=I^t=I }[/math] ומכאן המש"ל כיוון שA ריבועית וכך גם המשוחלפת שלה.

אם A הפיכה וסימטרית מתקיים [math]\displaystyle{ (A^{-1})^t=(A^t)^{-1}=A^{-1} }[/math] כלומר ההופכית גם סימטרית.

מציאת הופכית והצגה כמכפלה של מטריצות אלמנטריות

דיברנו כבר על פעולות שורה אלמנטריות כאשר דיברנו על פעולות שלא משנות את מרחב הפתרונות של המערכת המתאימה למטריצה. נזכיר מהן פעולות השורה האלמנטריות:

1. [math]\displaystyle{ R_i \leftrightarrow R_j }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \alpha R_i \rightarrow R_i }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ 0\neq\alpha\in\mathbb{F} }[/math]
3. [math]\displaystyle{ R_i +\alpha R_j \rightarrow R_i }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math]

את הפעולות הללו ביצענו על מטריצות (ככה דירגנו אותם). למשל נסמן את פעולת השורה [math]\displaystyle{ R_1\rightarrow R_1-R_2 }[/math] באות [math]\displaystyle{ \rho }[/math] אזי מתקיים לדוגמא:

[math]\displaystyle{ \rho\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \rho\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 & -2 \\ 3 & 4\end{pmatrix} }[/math]

כעת נרצה להחליף את ביצוע הפעולה בכפל במטריצה המכונה מטריצה אלמנטרית.

מטריצות אלמנטריות

מטריצת (שורה) אלמנטרית היא מטריצה המתקבלת מהפעלת פעולת שורה אלמנטרית על מטריצת היחידה.

דוגמאות (ב [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^{3\times3} }[/math]):

1. החלפת שורות [math]\displaystyle{ R_{2}\leftrightarrow R_{3} }[/math] מתאים למטירצה [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) }[/math]
2. הכפלת שורה 1 ב-5 [math]\displaystyle{ 5\cdot R_{1}\rightarrow R_{1} }[/math] מתאים למטריצה [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc} 5 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) }[/math]
3. החסרת שורה 3 משורה 1 [math]\displaystyle{ R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1} }[/math] מתאים למטריצה [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) }[/math]

משפט: לכל מטריצה A מתקיים [math]\displaystyle{ \rho(A) = \rho(I)A }[/math].

כלומר, הפעלת פעולת שורה אלמנטרית שקולה לכפל במטריצת השורה האלמנטרית המתאימה.

משפט: מטריצה אלמנטרית [math]\displaystyle{ E=\rho(I) }[/math] היא הפיכה ומתקיים [math]\displaystyle{ E^{-1}=\rho^{-1}(I) }[/math].

דוגמא: נמצא את ההופכית של המטריצות ממקודם:

1. [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc} 5 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{5} & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) }[/math]

יש משפט והגדרה דומים עבור מטריצות עמודה אלמנטריות עם כפל בצד השני. כמו כן, כל מטריצת שורה אלמנטרית הינה מטריצת עמודה אלמנטרית עבור פעולה מתאימה. מטריצות אלה נקראות ביחד מטריצות אלמנטריות.

מסקנה - אלגוריתם למציאת מטריצה הופכית

בהנתן מטריצה A הפיכה ניתן לעבור מ A ל- I ע"י פעולות שורה אלמנטריות. כלומר [math]\displaystyle{ E_{k}\cdots E_2 E_{1}\cdot A=I }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ E_i }[/math] היא המטריצה האלמנטרית שמתאימה לפעולה האלמנטרית שביצענו במהלך הדירוג.

מכאן רואים בקלות כי [math]\displaystyle{ A^{-1}=E_{k}\cdots E_2 E_{1} }[/math]

כיוון ש [math]\displaystyle{ E_{k}\cdots E_2 E_{1}=E_{k}\cdots E_2 E_{1}\cdot I }[/math] אז ההופכית מתקבלת מהכפלת המטריצות האלמנטריות ב I (או באופן שיקול ביצוע הפעולות האלמנטריות על I)

לכן אם נסתכל על המטריצה [math]\displaystyle{ (A|I) }[/math] ונדרג אותה נקבל לאחר הדירוג [math]\displaystyle{ (I|A^{-1}) }[/math] פעולות הדירוג מתבצעות סימולטנית גם על A וגם על I. ברגע שהגענו מ A ל I אז במקביל הגענו מ I להופכית של A.

דוגמא: נמצא את ההופכית של תהא [math]\displaystyle{ A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right) }[/math] .

נעשה פעולות דירוג על [math]\displaystyle{ (A|I) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{R_{1}\leftrightarrow R_{2}}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{R_{2}-0.5R_{3}\rightarrow R_{2}}\\ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -0.5 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0.5\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -0.5 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{0.5R_{3}\rightarrow R_{3}}\\ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0.5\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -0.5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0.5 \end{array}\right) }[/math]

לפי התיאוריה ממקודם נקבל כי [math]\displaystyle{ A^{-1}= \left(\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0.5\\ 1 & 0 & -0.5 \\ 0 & 0 & 0.5 \end{array}\right) }[/math]

תוספת: הצגת מטריצה כמכפלה של אלמנטריות

נשים לב כי קיבלנו ש [math]\displaystyle{ A^{-1}=E_{k}\cdots E_2 E_{1} }[/math] המטריצה ההופכית היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות.

ומכאן שגם [math]\displaystyle{ A }[/math] ניתנת להצגה של מכפלה של מטריצות אלמנטריות כיוון ש [math]\displaystyle{ A=(A^{-1})^{-1}=(E_{k}\cdots E_2 E_{1})^{-1}=E_1^{-1}E_2^{-1} \cdots E_k^{-1} }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ A }[/math] היא מכפלת בסדר הפוך של ההופכיות של האלמנטריות.

נמשיך בדוגמא להמחיש את הענין. ראינו שהדירוג מ תהא [math]\displaystyle{ A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right) }[/math] .

ל [math]\displaystyle{ I }[/math] מתבצע ע"י 4 פעולות שורה. המטריצות האלמנטריות המתאימות הן

1. [math]\displaystyle{ E_1 = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) }[/math]

(החלפת שורות 1 ו -2)

1. [math]\displaystyle{ E_2 = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -0.5 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) }[/math]

(החסרת חצי שורה 3 משורה 2)

1. [math]\displaystyle{ E_3 = \left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) }[/math]

(החסרת שורה 2 משורה 1)

1. [math]\displaystyle{ E_4 = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0.5 \end{array}\right) }[/math]

(בכפלת שורה 3 בחצי)

במילים אחרות [math]\displaystyle{ E_4E_3E_2E_1A=I }[/math]

ולכן

• [math]\displaystyle{ A^{-1}=E_4E_3E_2E_1 }[/math]
• [math]\displaystyle{ A=E_1^{-1}E_2^{-1}E_3^{-1}E_4^{-1} }[/math]