מרחבים וקטורים
דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ
עם חיבור
וכפל בסקלאר הוא מרחב וקטורי.
ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.
הגדרה: מרחב וקטורי הוא רביעיה , כאשר
-
היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של חיבור (+). כלומר
-
הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של
וכפל בסקלאר.
- כפל בסקלאר (
) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי
. פורמאלית
אקסיומות מרחב וקטורי:
- אקסיומות של החיבור ב
: לכל
מתקיים
- מוגדרות:
.
- קיבוץ:
.
- חילוף:
.
- איבר נטרלי:
.
- איבר נגדי:
.
- מוגדרות:
- אקסיומות של כפל וחיבור של שדה: בהגדרת שדה
- אקסיומות כפל בסקלאר: לכל
מתקיים
- מוגדרות
- קיבוץ:
- כפל ביחידה (של השדה):
- פילוג:
- מוגדרות
טרמינולוגיה: אומרים ש מרחב וקטורי מעל
.
איברי נקראים וקטורים. איברי
נקראים סקלארים.
תכונות בסיסיות:
.1
.2
דוגמאות
1.
מעל
עם חיבור
וכפל בסקלאר
2.
מרחב המטריצות מעל שדה
עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.
3.
מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית
מעל שדה
עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.
4.
מרחב הפולינומים עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.
5.
הוא מרחב וקטורי מעל
עם חיבור וכפל "רגילים".
6. הוא מרחב וקטורי מעל
.
הערה: הוא אינו מרחב וקטורי מעל
(עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי
והכפל בניהם צריך להיות שייך ל
אבל
תתי מרחבים
הגדרה יהיה מרחב וקטורי מעל
. תת קבוצה
יקרא תת מרחב אם הוא מרחב וקטורי בפני עצמו ביחס לפעולות V. סימון
הערה: כדי לבדוק אם הוא תת מרחב מספיק לבדוק
- לכל
מתקיים
- מוגדרות:
.
- איבר נטרלי: 0 של
נמצא ב-
- אקסיומות כפל בסקלאר: לכל
מתקיים
- מוגדרות
- מוגדרות
את שאר האקסיומות יורש מ
כתת קבוצה.
הערה: ניתן לרכז את הבדיקות הנ"ל מספיק לבדוק
- שלכל
מתקיים
.
אבחנה: תמיד תתי מרחבים ונקראים תתי המרחבים הטריוואלים.
דוגמאות ודוגמאות נגדיות
1. המישור האוקלידי מעל
א. (הרביע החיובי) אינו תת מרחב כי
ב. עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\text{ or }x,y\leq0\}
(הרביע החיובי והשלילי) אינו תת מרחב כי
ג. קו ישר העובר בראשית הוא כן תת מרחב. נוכיח את זה בסעיף הבא:
2. תהא מטריצה ונסתכל על אוסף הפתרונות למערכת ההומוגנית
.
פורמאלית
.
טענה תת מרחב
הוכחה: נשתמש בקריטריון המקוצר
- ברור ש
לא ריקה כי
- לכל
רוצים להראות כי
. לפי הגדרה צריך להראות כי
. ואכן,
.
3. מרחב המטריצות מעל
א. המטריצות מסוג
הן תת מרחב.
נוכיח :
- ברור כי
אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל
- לכל
רוצים להראות ש
כלומר להראות שהמטריצה
כולה אפסים פרט (אולי) למקום
וזה אכן כך בגלל שזאת הצורה של
ב. המטריצות הסימטריות
והמטריצות האנטי-סימטריות
שתיהן תתי מרחב.
הוכחה (עבור הסימטריות)
- ברור כי
אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל
- לכל
רוצים להראות ש
כלומר להראות שהמטריצה
סימטרית. נתון כי
. כעת מחוקי שיחלוף
נקבל כי .
ג.המטריצות הסימטריות איחוד עם המטריצות האנטי סימטריות
אינו תת מרחב כי
המטריצות
שייכות ל
אבל החיבור שלהם לא.
ד. המטריצות משולשיות/אלכסוניות/סקלאריות הן תת מרחב.
ה. המטריצות הן תת מרחב
הוכחה
- ברור כי
אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל
- לכל
רוצים להראות ש
כלומר להראות שעקבה של המטריצה
שווה 0. נתון כי
. כעת מחוקי עקבה
נקבל כי .
4. מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל
.
א. הינו תת מרחב כי באופן כללי
הוא מרחב וקטורי (והפעולות מוגדרות באופן זהה לכל המרחבים).
ב. הפולינומים מדרגה 1 בדיוק אינו תת מרחב. כי פולינום האפס שהוא האיבר הנטרלי ב
לא נמצא ב
.
חיתוך תתי מרחבים
משפט: יהי מרחב וקטורי מעל
. יהיו
תתי מרחבים.
אזי חיתוך תתי המרחבים
הינו תת מרחב.
הערה: זהו התת מרחב הכי "גדול" שמוכל ב . פורמאלית, כל תת מרחב
המקיים כי
יקיים כי
דוגמא 1
1. יהי . נגדיר שתי תת מרחבים
נמצא את
נשים לב שנוכל לאפיין את תתי המרחבים בצורה הבאה:
כאשר
כמו שראינו אלו תת מרחבים. כעת
ולכן צריך בסה"כ למצוא פתרון למערכת לא הומוגנית. נעשה זאת עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \\ 1 &1 &1 &2 \\ -1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \to \\ \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \\ 0 &0 &0 &1 \\ 0 &2 &2 &2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \\ 0 &1 &1 &1\\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &0 \\ 0 &1 &1 &0\\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &1 &0\\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}
התשובה הסופית
דוגמא 2
יהי . נגדיר שתי תת מרחבים
נמצא את החיתוך בניהם
צריך למצוא סקלארים המקיימים
שימו לב שאם מצאנו ארבעה סקלארים שמקימים את המשוואה לעיל אז אנחנו יודעים שהוקטור הזה במשוואה. עוד שימו לב שאם יודעים שהשיוויון מתקיים מספיק לדעת את או את
כדי לחשב את הוקטור עצמו (כי שני אגפי השיוויון שווים).
בעצם, זה שוב לפתור מערכת משוואות כאשר הנעלמים הם . הנה המערכת (אחרי שנעביר אגף):
נדרג ונמשיך
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\ 1 &1 &-1 &1\\ -1 &1 &-1 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\ 0 &2 & 0 & 2\\ 0 &0 &-2 & -2 \end{pmatrix} \to \\ \begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\ 0 &1 & 0 & 1\\ 0 &0 &-1 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &-1 &0 &0\\ 0 &1 & 0 & 1\\ 0 &0 &-1 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1\\ 0 &1 & 0 & 1\\ 0 &0 &-1 & -1 \end{pmatrix}
קיבלנו כי התנאי היחידי המתקיים בין הוא
. ובמקרה שהתנאי מתקיים יש פתרון למערכת המשוואות.
לכן התשובה הסופית
דוגמא 3
מעל
. יהיו
תת מרחב של המטריצות הסימטריות ו
תת המרחב של המטריצות האנטי סימטריות אזי:
הוכחה:
ישירות- אם גם סימטרית וגם אנטי סימטרית אזי מתקיים
. נעביר אגף ונקבל
. נחלק ב 2 ונקבל כי
סכום תתי מרחבים
יהי מרחב וקטורי מעל
. יהיו
תתי מרחבים.
נרצה למצוא את התת מרחב הכי "קטן" שמכיל את
. נסמן תת מרחב זה ב
אז פורמאלית, נרצה כי כל תת מרחב
המקיים
בהכרח יקיים גם
.
יש שיחשבו שהתת מרחב הכי קטן שמכיל את הוא האיחוד את
.
אבל התשובה שגויה כיוון שהאיחוד לא בהכרח תת מרחב כפי שנוכיח בתרגיל הבא.
תרגיל:
יהי מרחב וקטורי מעל
. יהיו
תתי מרחבים. אזי
אמ"מ (
) כלומר אחד מתת המרחב מוכל בשני.
הוכחה:
כיוון ראשון (): פשוט, אם אחד מוכל בשני אזי האיחוד שווה ל
(כאשר
שווה ל-1 או 2, תלוי במקרה) שהוא תת מרחב.
כיוון שני (): נניח בשלילה כי (
) אזי קיימים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): w_1\in W_1\setminus W_2 \
וגם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): w_2\in W_2\setminus W_1 \
. שני הוקטורים נמצאים באיחוד ולכן גם הסכום שלהם
נמצא באיחוד כי נתון שהוא תת מרחב. כעת מהגדרת האיחוד
נמצא ב
(כאשר
שווה ל-1 או 2, תלוי במקרה). בה"כ נניח
. כיוון ש
אזי חיסור שני הוקטורים
נמצא גם כן ב
אבל החיסור שווה ל
. סתירה לכך ש
סכום תתי מרחבים וסכום ישר
הגדרה: מרחב וקטורי מעל
. יהיו
תתי מרחבים.
אזי סכום תתי המרחבים
הינו תת מרחב.
הערה: זהו התת מרחב הכי "קטן" המכיל את שני תת המרחב. פורמאלית, כל תת מרחב המקיים
כי
יקיים כי
הגדרה: הסכום יקרא סכום ישר אם