88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 5
תוכן עניינים
המשך פונקציות - פונקציות על תת-קבוצות
תמונות חלקיות
הגדרה. תהי פונקציה, ויהיו תת קבוצות . אזי התמונה החלקית של A תחת f היא התת-קבוצה , והתמונה החלקית ההפוכה של B תחת f היא התת-קבוצה .
שימו לב להבדל בין התמונה ההפוכה לבין הפונקציה ההופכית . התמונה ההפוכה איננה מניחה כי הפונקציה f הפיכה. הדרך להבחין בין פונקציה הפיכה לתמונה ההפוכה היא לבדוק האם בין הסוגריים נמצא איבר של התמונה (בדוגמאות לעיל זהו ) או שנמצאת תת-קבוצה של התמונה (בדוגמאות לעיל זו ).
דוגמאות
תהא פונקצית דריכלה. אזי
תהא פונקצית . אזי
תהא פונקצית הערך השלם התחתון. אזי
תכונות
- אם אזי
- אם אזי
תרגיל.
הוכח/הפרך: תהיינה ותהי f פונקציה . אזי
פתרון.
נפריך על ידי דוגמא נגדית. נניח וf אינה חח"ע, כלומר קיימים כך ש . ניקח אזי:
הערה תמיד מתקיים
הערה הטענה נכונה אם חח"ע. הוכיחו!
תרגיל.
תהי ותהי . הוכח . וקיים שיוויון אם חח"ע
פתרון.
יהא אזי ולכן .
נראה את ההכלה בכיוון השני אם חח"ע:
יהא לכן לכן . כיוון ש חח"ע נובע כי
תרגיל.
תהי ותהי . הוכח . וקיים שיוויון אם על
פתרון.
יהא כאשר ולכן .
נראה את ההכלה בכיוון השני אם על:
יהא כיוון ש f על לכן . ואז
תרגיל ממבחן (קצת משודרג).
יהיו שתי קבוצות, ותהי פונקציה כלשהי. נגדיר את הפונקציה על ידי . בדוק את הקשר בין החח"ע/על של f לבין אלה של g. (כלומר, מה גורר את מה בהכרח).
פתרון.
1. f על אמ"מ g חח"ע בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על)
בכיוון השני- נתון כי g חח"ע. נניח בשלילה כי f אינה על אזי לכן בסתירה לחח"ע של g.
2. f חח"ע אמ"מ g על
בכיוון אחד- נתון f חח"ע. אזי ולכן g על ( עבור A המקור שלה יהיה )
בכיוון השני- נתון g על. נניח בשלילה ש f אינה חח"ע אזי קיימים שונים כך ש . נביט בנקודון
כיוון ש g על קיימת כך ש
לכן
ולכן
לכן כלומר . סתירה.
מכאן ניתן להסיק כי שאר הגרירות אינן מוכרחות:
- ייתכן ו-f חח"ע אך g אינה כזו (ניקח f חח"ע שאינה על אזי g אינה חח"ע לפי 1)
- יתכן ו-g חח"ע אך f אינה כזו. (ניקח g חח"ע שאינה על אזי f אינה חח"ע לפי 2)
- ייתכן ו-f על אך g אינה כזו (ניקח f על שאינה חח"ע אזי g אינה על לפי 2)
- ייתכן ו-g על אך f אינה כזו (ניקח g על שאינה חח"ע אזי f אינה על לפי 1)
אתם מוזמנים לתת דוגמאות למסקנות לעיל
למשל: יהיו . אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y.
פונקציה מצומצמת
הגדרה. תהי ותהי . הפונקציה f מצומצמת לA מוגדרת על ידי: כך ש-.
דוגמא. נביט ב- המוגדרת על ידי ואינה חח"ע. נכון לומר שהפונקציה המצומצמת כן חח"ע.
תרגיל.
תהי פונקציה, הוכח שקיימת קבוצה A כך ש- חח"ע עם אותה התמונה כמו הפונקציה המקורית (כלומר ).
פתרון.
נגדיר לכל את הקבוצה של המקורות שלו כעת נבחר מכל איבר יחיד . נגדיר . כיוון שבחרנו מקור לכל תמונה, ובחרנו מקור אחד אזי חח"ע עם אותו טווח של .
אזהרה! ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך)
פונקציות המכבדות יחס שקילות
הגדרה. תהי , ויהי R יחס שקילויות על A. אומרים כי f מוגדרת היטב על אם
כלומר אם a שקול ל b אזי .
למה זה טוב? כדי שנוכל להגדיר פונקציה על קבוצת המנה ע"י
באופן מפורש .
טענה: g אכן פונקציה
הוכחה:
1. g שלמה - "לפי העיניים". כלל ההתאמה מנוסח כך שהיחס הוא שלם.
2. g חד ערכית- נניח , צ"ל . מהנתון ש נובע ש , ולכן, לפי הגדרת f כמוגדרת היטב על קבוצת המנה, מתקיים , ולפי הגדרת g מתקיים .
דוגמא לחידוד
האם f על הרציונאליים המוגדרת על ידי מוגדרת היטב?
פתרון לא! כזכור הרציונאליים הם קבוצת מנה של . לפי היחס שהגדרנו מתקיים אבל לא מתקיים
במילים: לא ברור לאן f שולחת את השבר שליש!
הערה: בכוונה ניסחנו את התרגיל באופן הרומז על יחס השקילויות מבלי לומר אותו במפורש. זו הדרך בה נתקל במושג 'מוגדר היטב' במהלך התואר - יחס השקילויות יהיה מרומז בלבד.