אסימפטוטה משופעת

פונקציה בעלת אסימפטוטה משופעת הינה פונקציה ששואפת להיות קו ישר באינסוף. פונקציה בעלת גבול סופי באינסוף שואפת לקו ישר מאוזן, אך ישנן פונקציה השואפות לקו ישר משופע.

הגדרה

אומרים כי לפונקציה ממשית f קיימת אסימפטוטה משופעת באינסוף אם קיימים קבועים a,b כך ש:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)-ax-b=0 }[/math]

במקרה זה האסימפטוטה המשופעת באינסוף הינה [math]\displaystyle{ y=ax+b }[/math]

באופן דומה, לפונקציה f קיימת אסימפטוטה משופעת במינוס אינסוף אם קיימים קבועים a,b כך ש:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)-ax-b=0 }[/math]

מציאת אסימפטוטה משופעת

נניח וקיימת אסימפוטטה משופעת, אזי

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)-ax-b=0 }[/math]

לכן

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)-ax-b}{x}=0 }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x}=a }[/math]

כלומר:

• שלב ראשון: שיפוע האסימפטוטה המשופעת הינו [math]\displaystyle{ a=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x} }[/math]. אם הגבול אינו קיים אין אסימפטוטה משופעת.

• שלב שני: חיתוך האסימפטוטה עם ציר y הינו [math]\displaystyle{ b=\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)-ax }[/math]. אם הגבול אינו קיים אין אסימפטוטה משופעת.

עבוד מינוס אינסוף התהליך דומה.