נקודת פיתול

הגדרה

תהי f פונקציה ממשית הגזירה בנקודה a.

a נקראת נקודת פיתול קיימת סביבה שלה כך שבצד אחד של a הפונקציה f גבוהה או שווה למשיק ל-a, ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו.

מציאת נקודות פיתול

נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן חשודות לפיתול, ויש לסווג אותן.

משפט. תהי f גזירה פעמיים בסביבה של a כך שבצד אחד של a בסביבה הנגזרת השנייה אי שלילית ובצד השני אי חיובית, אזי a נקודת פיתול של f.

הוכחה.

לפי טיילור מתקיים:

[math]\displaystyle{ f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2 }[/math].

ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה a הינו

[math]\displaystyle{ f(x)-\Big(f(a)+f'(a)(x-a)\Big)=\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2 }[/math]

כיוון שהנקודה c נמצא בין x לבין a, קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי שלילי בצד אחד, ואי חיובי בצד השני ולכן a הינה נקודת פיתול כפי שרצינו.