דטרמיננטות

הגדרה הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית [math]\displaystyle{ A\in F^{n\times n} }[/math] היא סקלר [math]\displaystyle{ det(A)=|A|\in F }[/math] המחושב מסכומים של מכפלות של אברי המטריצה.

חישוב דטרמיננטה של מטריצות קטנות

הדטרמיננטה של מטריצה מסדר 1 [math]\displaystyle{ A=(\alpha)\in F^{1\times 1} }[/math] היא הערך היחיד במטריצה [math]\displaystyle{ det(A)=\alpha }[/math].

הדטרמיננטה של מטריצה [math]\displaystyle{ A=\pmatrix{a&b\\ c&d} \in F^{2\times 2} }[/math] היא [math]\displaystyle{ det(A)=ad-bc }[/math].

למשל: [math]\displaystyle{ det\pmatrix{1&2\\ 3&4} = 1\cdot 4-2\cdot 3=-2 }[/math].

חישוב לפי נוסחת לפלס (מינורים)

סימון עבור מטריצה [math]\displaystyle{ A\in F^{n\times n} }[/math] נסמן ב [math]\displaystyle{ M_{ij} }[/math] את המטריצה מגודל [math]\displaystyle{ n-1 \times n-1 }[/math] המתקבלת מ[math]\displaystyle{ A }[/math] ע"י מחיקת השורה ה[math]\displaystyle{ i }[/math] והעמודה ה[math]\displaystyle{ j }[/math]. זה נקרא המינור ה[math]\displaystyle{ ij }[/math] של המטריצה.

דוגמא: עבור [math]\displaystyle{ A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9} }[/math]למשל [math]\displaystyle{ M_{12}=\pmatrix{4&6\\ 7&9} }[/math] [math]\displaystyle{ M_{23}=\pmatrix{1&2\\ 7&8} }[/math]

אפשר למצוא את הדטרמיננטה בעזרת הדטרמיננטות של המינורים (לפי שורה או לפי עמודה), וכך באינדוקציה למצוא דטורמיננטה של כל מטריצה.

מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי השורה ה[math]\displaystyle{ i }[/math]:

[math]\displaystyle{ |A|=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|M_{ij}| }[/math]

מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי העמודה ה[math]\displaystyle{ j }[/math]:

[math]\displaystyle{ |A|=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|M_{ij}| }[/math]

לדוגמא: [math]\displaystyle{ A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9} }[/math]נפתח לפי השורה הראשונה: [math]\displaystyle{ |A|=(-1)^{1+1}\cdot 1\cdot \begin{vmatrix}5&6\\ 8&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \begin{vmatrix} 4&6\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+3}\cdot 3 \cdot \begin{vmatrix} 4&5\\ 7&8 \end{vmatrix}=0 }[/math]

נפתח גם לפי העמודה השנייה: [math]\displaystyle{ |A|=(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \begin{vmatrix}4&6\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{2+2}\cdot 5\cdot \begin{vmatrix} 1&3\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{2+3}\cdot 8 \cdot \begin{vmatrix} 1&3\\ 4&6 \end{vmatrix}=0 }[/math]

תכונות של הדטרמיננטה

1. כפליות [math]\displaystyle{ |AB|=|A||B| }[/math].

2. בפרט [math]\displaystyle{ |A^k|=|A|^k }[/math].

3. [math]\displaystyle{ |A^t|=|A| }[/math].

4. אם המטריצה משולשית אז הדטרמיננטה= מכפלת אברי האלכסון (להדגים?).

5. אם [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה אז [math]\displaystyle{ |A^{-1}|=|A|^{-1} }[/math].

6. [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה אם"ם [math]\displaystyle{ |A|\neq 0 }[/math].

למשל המטריצה [math]\displaystyle{ A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9} }[/math]איננה הפיכה כי חישבנו שהדטרמיננטה היא אפס.

שימו לב שאין בהכרח קשר בין [math]\displaystyle{ |A+B| }[/math] לבין [math]\displaystyle{ |A|+|B| }[/math]. (דוגמא?)

תרגיל

נתונות מטריצות [math]\displaystyle{ A,B\in F^{n \times n} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |A|=2, |B|=-1 }[/math]. חשבו את [math]\displaystyle{ |(AB^{-1})^t(BA)^{-2}| }[/math].

פתרון

[math]\displaystyle{ |(AB^{-1})^t(BA)^{-2}|=|(AB^{-1})^t|\cdot |(BA)^{-2}|=|(AB^{-1})|\cdot |(BA)|^{-2}|=|A||B|^{-1}|B|^{-2}|A|^{-2}=-\frac{1}{2} }[/math]

תרגיל

תהי [math]\displaystyle{ B\in F^{3\times 3} }[/math] עם דטרמיננטה [math]\displaystyle{ |B|=-1 }[/math]. מצא את [math]\displaystyle{ |2B| }[/math].

פתרון

[math]\displaystyle{ |2B|=|2I\cdot B|=|\pmatrix{2&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2}|\cdot |B|=2^3 \cdot (-1) }[/math]

בהכללה: [math]\displaystyle{ |\alpha A|=\alpha^n |A| }[/math].

שיטת הדירוג

טענה תהי [math]\displaystyle{ B }[/math]מטריצה המתקבלת ממטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] ע" פעולת שורה, אזי:

1. אם [math]\displaystyle{ B }[/math] התקבלה ע"י כפל של אחת השורות ב[math]\displaystyle{ \alpha }[/math] אזי [math]\displaystyle{ |A|=\frac{1}{\alpha}|B| }[/math].

2. אם [math]\displaystyle{ B }[/math] התקבלה ע"י החלפת שתי שורות אזי [math]\displaystyle{ |A|=-|B| }[/math].

3. אם [math]\displaystyle{ B }[/math] התקבלה ע"י הוספת כפולה של שורה אחת לשורה אחרת אזי [math]\displaystyle{ |A|=|B| }[/math].

אם כן, נוכל לחשב דטרמיננטה ע"י דירוג המטריצה עד לצורה משולשית עליונה, ולעקוב אחר השינויים בדטרמיננטה.

דוגמא [math]\displaystyle{ \begin{vmatrix}2&6&16\\ -3&-6&18\\ 5&12&35\end{vmatrix}=2\cdot (-3)\begin{vmatrix}1&3&8\\ 1&2&-6\\ 5&12&35 \end{vmatrix}=-6\cdot \begin{vmatrix}1&3&8\\0&-1&-14\\0&-3&-5\end{vmatrix}=-6\cdot \begin{vmatrix}1&3&8\\0&-1&-14\\0&0&37\end{vmatrix}=-6\cdot 1\cdot (-1)\cdot 37=222 }[/math]

דוגמא [math]\displaystyle{ \vmatrix{\alpha &1&1&\dots&1\\1&\alpha &1&\dots &1 \\ 1&1&\alpha &\dots &1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ 1&1&1&1& \dots & \alpha} }[/math]