המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי

המשפט

תהי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. נגדיר גם: [math]\displaystyle{ \forall x\in [a,b]: A(x):= \displaystyle\int\limits_a^x f(t)dt }[/math] . אזי מתקיים:

א) [math]\displaystyle{ A(x) }[/math] רציפה.

ב) לכל [math]\displaystyle{ x_0\in [a,b] }[/math] שבו [math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math] רציפה, [math]\displaystyle{ A(x) }[/math] גזירה ו- [math]\displaystyle{ A'(x_0)=f(x_0) }[/math].

ג) אם [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] רציפה בכל [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], ו- [math]\displaystyle{ F }[/math] פונקציה קדומה של [math]\displaystyle{ f }[/math], מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a) }[/math].

הוכחה

סעיף א'

נקח [math]\displaystyle{ x\in [a,b] }[/math] כלשהו ו- [math]\displaystyle{ \Delta x }[/math] "קטן" כך ש-[math]\displaystyle{ x+\Delta x\in [a,b] }[/math]. לפי הגדרה: [math]\displaystyle{ A(x+\Delta x)=\displaystyle\int\limits_a^{x+\Delta x}f(t)dt }[/math] ולכן

[math]\displaystyle{ A(x+\Delta x)-A(x)=\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x} f(t)dt }[/math]. נתון ש- [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה, נגיד [math]\displaystyle{ f(x)\le M }[/math].

לכן מתקיים [math]\displaystyle{ \bigg|A(x+\Delta x)-A(x)\bigg|=\Bigg|\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt\Bigg|\le M|\Delta x| }[/math].

כעת נשאיף את [math]\displaystyle{ \Delta x \to 0 }[/math], אגף ימין שואף ל-0 . לכן:

[math]\displaystyle{ \lim_{\Delta x\to 0}\bigg|A(x+\Delta x)-A(x)\bigg|=0 }[/math] ומכך נובע ש:

[math]\displaystyle{ \lim_{\Delta x\to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0 }[/math] ולכן מתקיים תנאי הרציפות,

[math]\displaystyle{ \lim_{\Delta x\to 0}A(x+\Delta x)=A(x) }[/math].

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

סעיף ב'

כאן מניחים ש- [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] רציפה בנקודה [math]\displaystyle{ x_0\in [a,b] }[/math] כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי [math]\displaystyle{ A'(x_0) }[/math] קיימת ושווה ל- [math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math]. נחזור לפונקציה [math]\displaystyle{ A(x+\Delta x)-A(x)=\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt }[/math]. בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר [math]\displaystyle{ \Delta x\to 0 }[/math] , מתקיים בהכרח:

[math]\displaystyle{ \frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}=\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt \to f(x_0) }[/math]

טענה: נוכיח כי [math]\displaystyle{ \lim\limits_{\Delta x\to 0}\Bigg[\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt\Bigg]=f(x_0) }[/math] .

נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1: [math]\displaystyle{ \int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(x_0)dt=f(x_0) \Delta x }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(x_0)=f(x_0) }[/math].

כעת נראה כי הביטוי מתאפס: [math]\displaystyle{ \lim\limits_{\Delta x\to 0}\Bigg[\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg]=0 }[/math]

יהי [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math]. כיון ש- [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה, קיים [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ |t-x_0|\lt \delta }[/math] אז [math]\displaystyle{ \Big|f(t)-f(x_0)\Big|\lt \epsilon }[/math]. כעת נניח [math]\displaystyle{ |\Delta x|\lt \delta }[/math], לכן לכל t כזה: [math]\displaystyle{ |t-x_0|\le |\Delta x|\lt \delta }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \Big|f(t)-f(x_0)\Big|\lt \epsilon }[/math].

מכאן ש- [math]\displaystyle{ \Bigg|\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg|\le \displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\Big|f(t)-f(x_0)\Big|dt\lt \displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\epsilon\cdot dt }[/math]

אבל [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\epsilon\cdot dt=|\Delta x| \epsilon }[/math] ולכן

[math]\displaystyle{ \Bigg|\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg| \lt \frac1{|\Delta x|}\cdot \epsilon |\Delta x|=\epsilon }[/math].

ולכן הגבול אכן שואף ל- [math]\displaystyle{ 0 }[/math], מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל- [math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math], ולכן, אגף שמאל גם שואף ל- [math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math], מכאן נובע [math]\displaystyle{ A'(x_0)=f(x_0) }[/math].

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

סעיף ג'

ידוע כי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה על כל [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], ולכן ע"פ סעיף ב', [math]\displaystyle{ A(x) }[/math] פונקציה קדומה של [math]\displaystyle{ f }[/math]. נתון גם כי [math]\displaystyle{ F }[/math] פונקציה קדומה של [math]\displaystyle{ f }[/math], ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים [math]\displaystyle{ F(x)=A(x)+C }[/math] עבור [math]\displaystyle{ C }[/math] כלשהו.

לכן: [math]\displaystyle{ F(b)-F(a)=[A(b)+C]-[A(a)+C]=A(b)-A(a)=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx - \displaystyle\int\limits_a^a f(x)dx= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx-0 = \displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx }[/math]

ולכן בסך הכל :[math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a) }[/math].

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]