שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא
הוספת שאלה חדשה
הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).
-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן
אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.
ארכיון
שאלות
עזרה דחופה בגבולות
שלום לכולם, הנושא של גבולות, הוא פשוט נושא כל כך קשה, שרק את ההגדרה לקח לי בערך 3 שעות להבין. כל הוכחה או תרגיל שהיו קשורים לגבולות לא הבנתי בכלל, ואני חייב עזרה. אפשר אלגוריתם מלא לפתרון בעיה שבא צריך למצוא ולהוכיח גבול של סדרה או להוכיח שאין גבול של סדרה? למשל בתרגיל 3, בשאלה 1 א. צריך למצוא גבול לסדרה 1 חלקי שורש n. הבנתי שהגבול הזה הוא 0. צריך למצוא N אפסילון שבשבילו לכל n גדול מN אפסילון יתקיים ש [math]\displaystyle{ |a_n|\lt e }[/math]. חיפשתי ערכים מתאימים ובעזרת מחשבון מצאתי שלכל [math]\displaystyle{ N=[1/(e^2)] }[/math] כשב[] אני מתכוון לתקרה. אבל איך עכשיו אני מתקדם? איך לעבור מ nים שגדולים מN, לan? תודה!
תשובה
הפתרון הוא דומה לדברים שעשינו בכיתה. צריך להתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-L|\lt \epsilon }[/math] כלומר במקרה הזה [math]\displaystyle{ |\frac{1}{\sqrt{n}}-0|\lt \epsilon }[/math] ולכן אחרי פיתוח קל מקבלים שצריך להתקיים [math]\displaystyle{ n\gt \frac{1}{\epsilon^2} }[/math]. לכל n אי השיוויון האחרון מתקיים אם"ם אי השיוויון המקורי מתקיים.
כל מה שנותר הוא לבחור הוא [math]\displaystyle{ N_{\epsilon} }[/math] כלשהו כך ש[math]\displaystyle{ N_{\epsilon}\gt \frac{1}{\epsilon^2} }[/math] ואז ברור שלכל [math]\displaystyle{ n\gt N_{\epsilon} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ n\gt N_{\epsilon}\gt \frac{1}{\epsilon^2} }[/math] ולכן מתקיים אי השיוויון הרצוי [math]\displaystyle{ |\frac{1}{\sqrt{n}}-0|\lt \epsilon }[/math]. --ארז שיינר 15:46, 29 באוקטובר 2010 (IST)
- אפשר גם דוגמה להוכחה שסדרה היא מתבדרת?
- הדוגמא הקלאסית הינה [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math]. נניח בשלילה שהסדרה מתכנסת לגבול L חיובי (ההוכחה עבור שליליים דומה). לכן לכל אפסילון (ובפרט עבור [math]\displaystyle{ \epsilon=1 }[/math]) יש מקום בסדרה ([math]\displaystyle{ N_{\epsilon} }[/math]) כך שהחל ממנו והלאה כל איברי הסדרה (לכל [math]\displaystyle{ n\gt N_{\epsilon} }[/math]) מקיימים [math]\displaystyle{ |a_n-L|=|(-1)^n-L|\lt \epsilon=1 }[/math]. לכן בפרט, יש איברים אי זוגיים שמקיימים את זה, ניקח אחד כזה ונקבל [math]\displaystyle{ |-1-L|\lt 1 }[/math] אבל [math]\displaystyle{ L\gt 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ -1-L\lt 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ |-1-L|=1+L }[/math] וביחד מקבלים [math]\displaystyle{ 1+L\lt 1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ L\lt 0 }[/math] וזו סתירה. לכן לא יכול להיות גבול L חיובי כזה, וכמו שאמרתי ההוכחה עבור השלילים ואפס דומה. --ארז שיינר 17:37, 29 באוקטובר 2010 (IST)
- תודה רבה!!
- הדוגמא הקלאסית הינה [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math]. נניח בשלילה שהסדרה מתכנסת לגבול L חיובי (ההוכחה עבור שליליים דומה). לכן לכל אפסילון (ובפרט עבור [math]\displaystyle{ \epsilon=1 }[/math]) יש מקום בסדרה ([math]\displaystyle{ N_{\epsilon} }[/math]) כך שהחל ממנו והלאה כל איברי הסדרה (לכל [math]\displaystyle{ n\gt N_{\epsilon} }[/math]) מקיימים [math]\displaystyle{ |a_n-L|=|(-1)^n-L|\lt \epsilon=1 }[/math]. לכן בפרט, יש איברים אי זוגיים שמקיימים את זה, ניקח אחד כזה ונקבל [math]\displaystyle{ |-1-L|\lt 1 }[/math] אבל [math]\displaystyle{ L\gt 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ -1-L\lt 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ |-1-L|=1+L }[/math] וביחד מקבלים [math]\displaystyle{ 1+L\lt 1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ L\lt 0 }[/math] וזו סתירה. לכן לא יכול להיות גבול L חיובי כזה, וכמו שאמרתי ההוכחה עבור השלילים ואפס דומה. --ארז שיינר 17:37, 29 באוקטובר 2010 (IST)
שאלה 1ב.
בקשר לסינוס של n!, מתכוונים שמה שבתוך הסינוס הוא במעלות או ברדיאנים? כי יוצאות תוצאות שונות.
- זה לא משנה, אתה צריך להגיע לזה ש [math]\displaystyle{ sin(n!) }[/math] בכלל לא משפיע על הגבול. רמז לזה הוא ש[math]\displaystyle{ sin }[/math] היא פונקציה חסומה בין 1 ל-1-. גיל טנקוס :)
- למה זה לא משנה? הצבתי ערכים הולכים וגדלים במחשבון. כשהצבתי במעלות, יצא לי שמn=6 ומעלה, הסינוס מתאפס והסדרה היא קבועה על 0. אך כשהצבתי ברדיאנים הסדרה לא התאפסה ויצאו ערכים שונים לגמרי, כך שזה כן משפיע! ולא הבנתי מה זה אומר שהפונקציה חסומה, אתה יכול להסביר? תודה!
- סינוס באוניברסיטה הוא תמיד ברדיאנים, זה קודם כל. שנית סינוס לא מתאפס בערכים גבוהים לא ברדאינים ולא במעלות (איך זה הגיוני בכלל שהוא יתאפס בסולם אחד אבל לא בסולם אחר). פונקציה חסומה בין 1 למינוס 1, כלומר שהערכים שלה קטנים שווים ל1 וגדולים שווים למינוס אחד. למשל, הפונקציה לא יכולה לקבל את הערכים 50 או מינוס 100 (לעולם). --ארז שיינר 17:41, 29 באוקטובר 2010 (IST)
- אני עושה במחשבון [math]\displaystyle{ sin(6!) }[/math] וכשהמחשבון במצב של מעלות זה נותן לי 0 (וכך גם בכל הערכים מעל 6). איך זה?
- והנה, הפונקציה קיבלה ערך מחוץ ל1 ול1-! אתה לא מתכוון שהפונקציה -מוציאה- (לא "מקבלת") ערכים ביו 1 ל1-?
- ודבר אחרון, אני יודע מה זה אומר חסומה, התכוונתי, האם אפשר הסבר לגבי איך זה מתקשר לתרגיל? תודה!
- אפס הוא כן 'בין' אחד למינוס אחד. על מנת להבין את הקשר, מומלץ לקרוא את התרגול שם דברנו על משפט שקשור לסדרות חסומות. ולגבי המעלות, אתה צודק זו טעות שלי, וזה כן הגיוני שזה קבוע אפס (כי זה הופך להיות כפולה שלימה של 360 מעלות, ולא משנה במה תכפיל זה ישאר כפולה שלימה של 360 מעלות). בכל אופן, מדובר על רדיאנים. --ארז שיינר 18:06, 29 באוקטובר 2010 (IST)
- סינוס באוניברסיטה הוא תמיד ברדיאנים, זה קודם כל. שנית סינוס לא מתאפס בערכים גבוהים לא ברדאינים ולא במעלות (איך זה הגיוני בכלל שהוא יתאפס בסולם אחד אבל לא בסולם אחר). פונקציה חסומה בין 1 למינוס 1, כלומר שהערכים שלה קטנים שווים ל1 וגדולים שווים למינוס אחד. למשל, הפונקציה לא יכולה לקבל את הערכים 50 או מינוס 100 (לעולם). --ארז שיינר 17:41, 29 באוקטובר 2010 (IST)
- למה זה לא משנה? הצבתי ערכים הולכים וגדלים במחשבון. כשהצבתי במעלות, יצא לי שמn=6 ומעלה, הסינוס מתאפס והסדרה היא קבועה על 0. אך כשהצבתי ברדיאנים הסדרה לא התאפסה ויצאו ערכים שונים לגמרי, כך שזה כן משפיע! ולא הבנתי מה זה אומר שהפונקציה חסומה, אתה יכול להסביר? תודה!
תרגיל 3, שאלה 5ב
צריך להוכיח או להפריך שאם [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}|a_n|=|a| }[/math] אז [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=a }[/math]. כמובן שזה לא נכון אם a<0, ולכן אני שואל אם התכוונתם ל-[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n={\color{red}|}a{\color{red}|} }[/math] (וכנ"ל לגבי 5ג). תודה, 89.139.184.191 17:39, 29 באוקטובר 2010 (IST)
- אין טעות בשאלה (ומגניב האדום הזה) --ארז שיינר 17:42, 29 באוקטובר 2010 (IST)