קמירות

הגדרה

תהי f פונקציה ממשית הגזירה בנקודה a. אם קיימת סביבה של a עבורה הפונקציה גדולה או שווה למשיק בנקודה a, אומרים כי הפונקציה קמורה כלפי מעלה ב-a.

באופן דומה, אם קיימת סביבה של a עבורה הפונקציה קטנה או שווה למשיק בנקודה a, אומרים כי הפונקציה קמורה כלפי מטה ב-a.

(ראו גם נקודת פיתול.)

תנאי מספיק

אם f גזירה פעמיים ברציפות בנקודה a, והנגזרת השנייה חיובית אזי הפונקציה קמורה כלפי מעלה ב-a. אם הנגזרת השנייה שלילית הפונקציה קמורה כלפי מטה, אחרת לא ניתן לקבוע.

הוכחה. לפי פיתוח טילור ההפרש בין הפונקציה למשיק שווה:

[math]\displaystyle{ f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)=\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2 }[/math]

מתוך רציפות הנגזרת השנייה, אם היא חיובית ב-a קיימת סביבה של a עבורה לכל c מתקיים [math]\displaystyle{ f''(c)\gt 0 }[/math]. באופן דומה עבור נגזרת שנייה שלילית.