שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא
הוספת שאלה חדשה
הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).
-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן
אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.
ארכיון
שאלות
שאלה בקשר ל1 ה.
הגעתי לביטוי עם n שתמיד קטן מאחד, בחזקת n. מותר לי להגיד, על פי התזכורת, שהסדרה מתכנסת לאפס, כי הביטוי בחזקת n הוא תמיד קטן מאחד כמו שאלפה בתזכורת תמיד קטנה מאחד? תודה!
תשובה
אם זה ביטוי קבוע שקטן מאחד בחזקת n אז זה בדיוק התזכורת ואז זה מותר. אם מדובר על ביטוי שקטן מאחד אבל משתנה (למשל [math]\displaystyle{ (1-\frac{1}{n})^n }[/math]) אז אסור לומר את זה (כי זה לא נכון, כמו בדוגמא הזו). --ארז שיינר 13:38, 2 בנובמבר 2010 (IST)
- לא דיברתי על ביטוי קבוע (כי זה בדיוק התזכורת) אלא על משהו לא קבוע כמו בדוגמה שלך. אבל למה זה לא נכון? ואיך אפשר לפתור את 1 ה. בלי זה? תודה!
- מה הכוונה ב'למה זה לא נכון'? כי הדוגמא שנתתי היא דוגמא נגדית, הרי היא שואפת ל[math]\displaystyle{ e^{-1} }[/math] ולא לאפס. כן נכון לומר שאם סדרה שואפת לאפס, אז בחזקה כלשהי (במיוחד כזו שעולה) היא תשאף לאפס. דרך אחרת היא כן להשוות בין הסדרה הזו לבין סדרה עם קבוע בחזקת n ואז להפעיל את חוק הסנדביץ. --ארז שיינר 11:18, 3 בנובמבר 2010 (IST)
- 2 דברים: -אמרת שאם סדרה שואפת לאפס אז בחזקה כלשהי היא גם שואפת לאפס (זה די מה שהייתי צריך)- על פי מה זה נכון? האם צריך לנמק את זה, ואם כן איך מנמקים את זה? -לא הבנתי איך קשור חוק הסנדביץ'? תודה רבה!
- אם סדרה שואפת לאפס אז החלק ממקום מסויים היא קטנה מאחד. החלק מהמקום הזה העלאה שלה בחזקה רק יקטין אותה עוד יותר, ואז לפי חוק הסנדביץ גם הסדרה בחזקה שואפת לאפס. יש עוד קשר לחוק הסנדביץ בדרך פתרון אחרת שתראו בתשובות. --ארז שיינר 12:16, 3 בנובמבר 2010 (IST)
- המותר להגיד שהחל ממקום מסוים החזקה רק תקטין את הסדרה עוד יותר ואז לפי חוק הסנדביץ גם הסדרה הנתונה שואפת לאפס?
- צריך לפרט מדוע. --ארז שיינר 12:45, 3 בנובמבר 2010 (IST)
- אני לא מבין למה אתה מתכוון- אם צריך להשתמש בחוק הסנדביץ', הרי צריך למצוא 2 סדרות, אחת קטנה יותר ואחת גדולה יותר. אתה רומז שאני צריך למצוא סדרה נוספת שגדולה מהסדרה שדיברנו עליה?
- אני לא מבין את השאלה, חזרת על הטיעון שלי רק שהשתמטת כמה מילים. רק צריך להסביר שזה קטן יותר מהסדרה עם הקבוע בחזקת n והיא שואפת לאפס ולכן זהו. --ארז שיינר 23:07, 3 בנובמבר 2010 (IST)
- למה זהו?? בחוק הסנדביץ צריך 3 סדרות ולא 2, אחת גדולה יותר ואחת קטנה. אני רק מצאתי סדרה קטנה יותר ששואפת לאפס, מה עם גדולה יותר?
- נראה לי שהבנתי, לא משנה, תודה.
- אני לא מבין את השאלה, חזרת על הטיעון שלי רק שהשתמטת כמה מילים. רק צריך להסביר שזה קטן יותר מהסדרה עם הקבוע בחזקת n והיא שואפת לאפס ולכן זהו. --ארז שיינר 23:07, 3 בנובמבר 2010 (IST)
- אני לא מבין למה אתה מתכוון- אם צריך להשתמש בחוק הסנדביץ', הרי צריך למצוא 2 סדרות, אחת קטנה יותר ואחת גדולה יותר. אתה רומז שאני צריך למצוא סדרה נוספת שגדולה מהסדרה שדיברנו עליה?
- צריך לפרט מדוע. --ארז שיינר 12:45, 3 בנובמבר 2010 (IST)
- המותר להגיד שהחל ממקום מסוים החזקה רק תקטין את הסדרה עוד יותר ואז לפי חוק הסנדביץ גם הסדרה הנתונה שואפת לאפס?
- אם סדרה שואפת לאפס אז החלק ממקום מסויים היא קטנה מאחד. החלק מהמקום הזה העלאה שלה בחזקה רק יקטין אותה עוד יותר, ואז לפי חוק הסנדביץ גם הסדרה בחזקה שואפת לאפס. יש עוד קשר לחוק הסנדביץ בדרך פתרון אחרת שתראו בתשובות. --ארז שיינר 12:16, 3 בנובמבר 2010 (IST)
- 2 דברים: -אמרת שאם סדרה שואפת לאפס אז בחזקה כלשהי היא גם שואפת לאפס (זה די מה שהייתי צריך)- על פי מה זה נכון? האם צריך לנמק את זה, ואם כן איך מנמקים את זה? -לא הבנתי איך קשור חוק הסנדביץ'? תודה רבה!
- מה הכוונה ב'למה זה לא נכון'? כי הדוגמא שנתתי היא דוגמא נגדית, הרי היא שואפת ל[math]\displaystyle{ e^{-1} }[/math] ולא לאפס. כן נכון לומר שאם סדרה שואפת לאפס, אז בחזקה כלשהי (במיוחד כזו שעולה) היא תשאף לאפס. דרך אחרת היא כן להשוות בין הסדרה הזו לבין סדרה עם קבוע בחזקת n ואז להפעיל את חוק הסנדביץ. --ארז שיינר 11:18, 3 בנובמבר 2010 (IST)
תרגול 4 שאלה 5
האם מתקיים תמיד: lim sup an+bn <= lim sup an + lim inf bn ??
תשובה
אני מניח שאתה מתכוון רק לlim sup הרי זה נוסח השאלה. בכל מקרה אם אתה רוצה לומר את זה אתה צריך להוכיח את זה (זכרו שlim sup הוא הגבול החלקי הגדול ביותר, ויש תת סדרה ששואפת אליו). --ארז שיינר 22:54, 2 בנובמבר 2010 (IST)
תרגול 4 שאלה 2
הסעיפים a,b,c הם תתי שאלות שצריך לפתור או שלבים בדרך לפתרון? אם הם שלבים בדרך לפתרון, האם הם טיפים או שחייבים להוכיח בדרך הזאת?
תשובה
חייבים לפתור את הסעיפים ולענות על השאלה בדרך של הסעיפים. --ארז שיינר 00:24, 3 בנובמבר 2010 (IST)
תרגיל 4 שאלה 4
אינסוף פחות מספר מסוים הוא עדיין אינסוף נכון? ואם כן אז אני יכולה להגיד שאינסוף חלקי אינסוף זה 1?
תשובה
סדרה ששואפת לאינסוף פחות סדרה ששואפת למספר קבוע זה אכן שואף לאינסוף. אינסוף חלקי אינסוף ממש לא חייב להיות אחד. דוגמאות:
- [math]\displaystyle{ \frac{2n}{n}\rightarrow 2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{n^2}{n}\rightarrow\infty }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{n}{n^2}\rightarrow 0 }[/math]
- גבול לא קיים: [math]\displaystyle{ \frac{(2+(-1)^n)n}{n} }[/math]
--ארז שיינר 16:03, 3 בנובמבר 2010 (IST)
תרגיל 4 שאלה 8
האם אני יכולה להוכיח שלסדרה חסומה קיימת תת סדרה מונוטונית באזרת הלמה של קנטור?
תשובה
בדרך מאד לא ישירה. הרי השתמשנו בלמה של קנטור על מנת להוכיח משפט על סדרות חסומות. אין צורך לחזור על ההוכחה למשפט. --ארז שיינר 16:23, 3 בנובמבר 2010 (IST)
שאלה בקשר ל[math]\displaystyle{ e }[/math]
האם אפשר להניח ש [math]\displaystyle{ (1+\frac{k}{a_n})^{a_n}\rightarrow e^{k} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a_n \rightarrow \infty }[/math] ו [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{R} }[/math] או שיש צורך להוכיח את זה מהגדרת [math]\displaystyle{ e }[/math]?
תשובה
זה בדיוק מה שצריך להוכיח בתרגיל 3 שאלה 2, אי אפשר להניח פשוט שזה נכון. --ארז שיינר 23:17, 3 בנובמבר 2010 (IST)
- אבל לאחר שהוכחנו את זה כבר בתרגיל 3, מותר להשתמש בזה בלי להוכיח? [אלא אם זו השאלה כמובן]
- אה, שכחתי מתרגיל 4 (: אין צורך להוכיח את זה שוב, מותר להניח את התוצאה מתרגיל 3. --ארז שיינר 00:58, 4 בנובמבר 2010 (IST)
תרגיל 4 שאלה 8
אוקיי אז ככה, אני צריך להוכיח שעבור כל סדרה מתכנסת יש לה תת סדרה מונוטונית. עכשיו זה מאוד קל להבין למה זה קורה אבל להוכיח זה סיפור אחר. אני יודע שכדי להוכיח שסדרה היא מונוטונית צריך להוכיח ש [math]\displaystyle{ a_n \gt a_(n+1) }[/math] או [math]\displaystyle{ a_n \lt a_(n+1) }[/math] לכל n.
עכשיו, ע"פ משפט בולצנו ויירשטראס לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת. אז בתכלס כל מה שנשאר לי להוכיח זה שלכל סדרה מתכנסת יש תת סדרה מונוטונית וסגרתי את הפינה הזאת. אז אני יכול לומר שאם סדרה מתכנסת ל-L אז כל תת סדרה שלה מתכנסת ל-L ואז יש אינסוף איברי סדרה או גדולים או קטנים מ-L. אם נניח שיש אינסוף גדולים מ-L אז חייב להיות עבור כל איבר בסדרה, עוד איבר שקטן ממנו שיותר קרוב לגבול (שעדיין גדול מהגבול), אחרת הוא לא היה הגבול. אותו עיקרון אם יש אינסוף איברים שקטנים מ-L. וזה בתכלס ההוכחה שלי, רק שאני לא יודע לכתוב את זה בכתיב מתמטי!!! נא עזרה.