דוגמאות להוכחת התכנסות באמצעות קריטריון קושי

תיקון טעות מהתרגיל של יום ראשון

תרגיל: תהי סדרה [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |a_n-a_{n-1}|\lt \frac{1}{2^n} }[/math]. הוכח ש[math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] מתכנסת.

פתרון: נוכיח ש [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

[math]\displaystyle{ |a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\leq }[/math]

[math]\displaystyle{ \leq |a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+...+|a_{n+1}-a_n|\lt }[/math]

[math]\displaystyle{ \lt \frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^{m-1}}+...+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n+1}}[\frac{1}{2^{m-n-1}}+...+1] }[/math] (לפי הנתון)

[math]\displaystyle{ =\frac{1}{2^{n+1}}[\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac{1}{2}}]=\frac{1}{2^n}[1-\frac{1}{2^{m-n}}]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\leq \frac{1}{2^n} \rightarrow 0 }[/math]