תרגול 6 תשעז
חזרה לדף מערכי התרגול.
תוכן עניינים
המשך קבוצות
תרגיל
הוכיחו כי .
פתרון
דרך גרירות לוגיות:
בשורה האחרונה הוספנו סתירה בעזרת הקשר "או" ולכן נשארנו עם ביטוי שקול. כעת נשתמש בחוק הפילוג של הלוגיקה:
וזה בדיוק מה שרצינו.
הוכחה נוספת בעזרת הכלה דו כיוונית:
בכיוון () נניח
, ולכן
בכיוון () נניח
. לכן
(כי אם אז
סתירה)
משלים
הגדרה: תהי קבוצה , ונביט בתת קבוצה שלה
. ניתן להגדיר את המשלים של
כאוסף האיברים ב-
שאינם ב-
(כלומר ההפרש
), המסומן
. לא ניתן לדבר על משלים אוניברסלי ללא
מכיוון שאין קבוצה המכילה את כל הדברים בעולם (אחרת נגיע לסתירות כמו פרדוקס ראסל).
תכונות בסיסיות:
על המשלימים מתקיימים חוקי דה מורגן (הנובעים ישירות מחוקי דה מורגן בלוגיקה):
הערה: באופן כללי מתקיים
תרגיל
הוכיחו כי .
פתרון
נשתמש בהצגת ההפרש הסימטרי כאיחוד ההפרשים:
ומחילופיות "וגם" ו"או":
קבוצת החזקה
הגדרה: תהי קבוצה . נגדיר את קבוצת החזקה של
בתור אוסף כל תת הקבוצות של
. נסמן
.
דוגמה: נבחר אזי
.
האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה? הוכיחו זאת באינדוקציה.
תרגיל ממבחן
תהינה קבוצות. הוכיחו או הפריכו:
א. אם אזי
ב. אם אזי
ג. אם אזי
פתרון
א. הפרכה: . אזי ברור ש-
איננה מוכלת בחיתוך
אבל
.
ב. נתון שלכל מתקיים
. אזי
כעת, הצד הימני הוא טאוטולוגיה וניתן להסיר אותו. מכיוון שנתון ניתן להסיק בקלות ש-
, כפי שרצינו.
דרך נוספת: נגדיר את להיות הקבוצה האוניברסאלית
ואז צריך להוכיח כי
וזה אכן נכון!
ג. נניח בשלילה ש-. מכיוון שהקבוצה הריקה שייכת לכל קבוצת חזקה, החיתוך אינו ריק. לכן לפי הנחת השלילה קיימת קבוצה לא ריקה
השייכת לחיתוך
. קבוצות החזקה הן אוסף תת הקבוצות, ולכן
. מכיוון ש-
אינה ריקה קיים בה איבר
וקל לראות ש-
ולכן
מוכל בחיתוך, בסתירה לכך שהחיתוך ריק.