תרגול 12 תשעז
חזרה לדף מערכי התרגול.
תוכן עניינים
הגדרות בסיסיות לפונקציות
הגדרה: יהיו קבוצות ו-
יחס בינהן. אזי:
- התחום של R הינו
- התמונה של R הינה
הערה: ישירות מהגדרה מתקיים כי .
דוגמה:
אזי התחום הוא
והתמונה הינה
.
הגדרה:
- יחס
מ-
ל-
נקרא על אם
כלומר
.
- יחס
מ-
ל-
נקרא מלא אם
כלומר
- יחס
נקרא חד ערכי אם
כלומר אין איבר מ-
שמתאים לשני איברים שונים מ-
.
הגדרה:
יחס חד ערכי ומלא נקרא פונקציה; נסמן במקרה זה .
ובאופן כללי
.
(
נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה ו-
נקרא הטווח של הפונקציה.)
פונקציה נקראת חד-חד ערכית אם בנוסף היחס ההפוך הוא חד ערכי.
כלומר:
חח"ע אמ"מ
אמ"מ
.
הגדרה:
תהא קבוצה. פונקציית הזהות היא פונקציה
המקיימת
. נהוג לסמנה
. פונקציית הזהות היא חח"ע ועל.
דוגמאות
באופן רשלני (וחסכוני), כאשר אנחנו מגדירים פונקציה לא תמיד נשתמש בכמת "לכל" לגבי איברי תחום ההגדרה.
כאשר
חח"ע ואינה על.
כאשר
אינה חח"ע ואינה על.
כאשר
לא מוגדרת כי
.
כאשר
חח"ע ועל.
כאשר
חח"ע ועל.
כאשר
חח"ע ואינה על.
- תהא פונקציה
אזי
המוגדרת לכל
לפי
היא על (במילים: פשוט חושבים על הטווח של
להיות התמונה של
).
- תהא
אזי הפונקציה
המוגדרת לכל
לפי
נקראת פונקציה ההכלה (אם
זו פונקצית הזהות). פונקצית ההכלה היא חח"ע.
תרגיל
נסמן ב- את אוסף הפונקציות מהטבעיים לעצמם.
נתבונן בפונקציה המוגדרת ע"י
האם היא חח"ע? האם היא על?
פתרון
הפונקציה לא חח"ע כי יש הרבה פונקציות שנותנות ל-1,2 (יחד!) את אותם ערכים.
היא כן על: לכל זוג סדור הפונקציה ששולחת את 1 ל-
, ואת 2 ל-
, היא המקור (את שאר הטבעיים נשלח לאן שנרצה).
תרגיל
תהא קבוצה. נגדיר פונקציה
ע"י:
האם היא חח"ע? על?
פתרון
חח"ע: כן. תהיינה אם
אזי
. אחרת
. כלומר
.
על: לא. נבחר . למשל לקבוצה
אין מקור. אין תת קבוצה שהאוסף הזה הוא בדיוק אוסף הקבוצות המכילות אותה.
תרגיל
יהיו ו-
קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכיחו שכל פונקציה מ-
ל-
הינה על אם"ם היא חח"ע.
הוכחה:
נסמן . כאשר כל האיברים ב-
שונים זה מזה וכנ"ל ב-
.
נניח חח"ע אזי
כיוון ש-
ובשניהם יש אותו מספר איברים, מתקיים שיוון ולכן
על.
נניח על. נניח בשלילה ש-
אינה חח"ע אזי
(כי יש שני איברים שנשלחים לאותו מקום) ואז
אינה על, שזו סתירה.
הערה: הדבר אינו נכון אם ו-
קבוצות אינסופיות. נסו למצוא דוגמה.
הרכבת פונקציות והפיכות
הגדרה:
יהיו שתי פונקציות אזי ההרכבה של
על
היא פונקציה
המוגדרת על ידי הכלל
.
הערה: אם מתייחסים לפונקציות כאל יחסים - מקבלים את ההגדרה של הרכבת יחסים.
משפט:
- אם
חח"ע אזי
חח"ע.
- אם
על אזי
על.
- מסקנה: אם
חח"ע ועל אזי
חח"ע ו-
על.
תכונות של הרכבת פונקציות:
- הרכבה היא קיבוצית. כלומר
.
- הרכבה אינה (בהכרח) חילופית כלומר לא מתקיים בהכרח כי
. למשל לפונקציות מעל הטבעיים
אזי
ולכן
.
- לכל פונקציה
מתקיים
וגם
. שימו לב לתחומי ההגדרה והטווחים של הפונקציות שנדרשים כדי שהטענות האלו יהיו נכונות.
פונקציות הפיכות
הגדרה: תהי פונקציה
. פונקציה
תקרא הפונקציה ההופכית ל-
אם
וגם
. במקרה זה נסמן את
על ידי
, ונאמר שהפונקציה
היא הפיכה.
שימו לב שאם פונקציה הפיכה, אז גם
היא פונקציה הפיכה, ומתקיים
.
תרגיל
(לדלג, היה בהרצאה): הוכיחו כי פונקציה הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל.
פתרון
אם הפיכה, אזי
וגם
. מכיוון שפונקציית הזהות הינה חח"ע ועל, נובע ש-
חח"ע ועל לפי משפט קודם.
אם חח"ע ועל, אז נגדיר
ע"י: עבור
קיים (כי
על)
יחיד (כי
חח"ע) כך ש-
. נגדיר
. תרגיל: בדקו כי
היא ההופכית של
.