אנליזה מתקדמת למורים תרגול 5

חזרה ל מערכי תרגול.

הגדרה

נאמר שפונקציה גזירה בנקד' [math]\displaystyle{ z_0 }[/math] אם לכל סדרה [math]\displaystyle{ \triangle z\to 0 }[/math] קיים הגבול [math]\displaystyle{ \underset{\lim}{\triangle z\to 0}\frac{f(\triangle z+z_0)-f(z_0)}{\triangle z} }[/math], ואז ערך הנגזרת זה הגבול הנ"ל.

פונקציה היא גזירה אם היא גזירה בכל נקודה.

דוגמאות

תרגיל

האם הפונקציה [math]\displaystyle{ f(z)=z^2 }[/math] גזירה?

פתרון

כן. לפי הגדרה, מקבלים בדיוק כמו בממשיים!

תרגיל

האם הפונקציה [math]\displaystyle{ f(a+bi)=2a-3bi }[/math] גזירה באפס?

פתרון

לא! לוקחים סדרה ממשית וסדרה מדומה טהורה.

משפטים

סכום ומכפלה של גזירות גזירה. כלל השרשת גם מתקיים!

משוואות קושי-רימן

נגזרות חלקיות

תהי [math]\displaystyle{ U:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} }[/math] פונקציה, אזי הנגזרת החלקית לפי אחד המשתנים, זה לגזור כאילו זה המשתנה והמשתנה השני קבוע.

דוגמא: [math]\displaystyle{ U(x,y)=x^2+2xy }[/math] אז הנגזרות החלקיות הן: [math]\displaystyle{ U_x=2x+2y,U_y=2x }[/math]. כמובן, הנגזרת בעצמה היא פונקציה בשתי משתנים, ולכן גם אותה ניתן לגזור לפי כל אחד מהמשתנים. כלומר נקבל שיש 4 "נגזרת שנייה":

1. [math]\displaystyle{ U_{xx}=2 }[/math].

2. [math]\displaystyle{ U_{xy}=2 }[/math].

3. [math]\displaystyle{ U_{yx}=2 }[/math].

4. [math]\displaystyle{ U_{yy}=0 }[/math].

עוד דוגמא כרוח המתרגל באותה שעה.