אנליזה מתקדמת למורים תרגול 6
חזרה ל מערכי תרגול.
תוכן עניינים
אקסופנט
ראינו בשבוע שעבר שהפונקציה גזירה ומקיימת
, וראיתם בהרצאה שהיא מקיימת את כל התכונות הנדרשות לפונקציית האקספוננט, ולכן הגדרנו:
.
לדוגמא, נחשב :
.
תרגיל
כידוע, בממשיים מתקיים . מה לגבי המרוכבים? האם קיים
כך ש
הוא ממשי וקטן מאפס?
פתרון
כן! נתחיל מדוגמא, ואז נבין את הפתרון הכללי. נחפש כך ש
.
ראשית, כדי שהתוצאה תהיה ממשית דרוש , ולכן
. כעת נקבל
, וכיון שאנחנו רוצים לקבל מספר שלילי נרצה
, ולכן ניקח
.
מה שקיבלנו עד כה זה , ולכן אם ניקח
נקבל
כדרוש.
באופן כללי: יהי ממשי. נבחר
ונקבל
.
תרגיל
הוכיחו שמתקיים:
פתרון
לפי הגדרה: .
טריגו
הגדרתם בהרצאה את הפונקציות הטריגונומטריות .
לדוגמא, נחשב:
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): =\frac{e^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i-e(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i}{2i}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{1}{e}-e)+\frac\sqrt{2}}{2}(\frac{1}{e}+e)i}{2i}=\frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{1}{e}+e)-\frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{1}{e}-e)i