אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/1.8.12

פונקציה רציפה למקוטעין

הגדרה: הפונקציה [math]\displaystyle{ f:[-\pi,\pi]\to\C }[/math] תקרא רציפה למקוטעין אם:

ל־[math]\displaystyle{ f }[/math] יש לכל היותר מספר סופי של נקודות אי־רציפות.
בכל נקודת אי־רציפות קיימים הגבולות החד־צדיים. כלומר, אם [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אי־רציפות אזי [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to x_0^+}f(x),\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x) }[/math] קיימים במובן הצר.

הערה: מובן שניתן לדבר גם על פונקציות רציפות למקוטעין בתחומים אחרים, אולם אנו לא נעסוק בהן.

תכונות

סכום, הפרש או כפל של פונקציות רציפות למקוטעין גם היא רציפה למקוטעין.
הכפלה של פונקציה רציפה למקוטעין בסקלר היא פונקציה רציפה למקוטעין.

לפיכך מתקיימים התנאים לתת־מרחב לינארי, כלומר קבוצת הפונקציות הרציפות למקוטעין הוא מרחב לינארי. נסמן מרחב זה ב־[math]\displaystyle{ E }[/math]. המכפלה הפנימית בו מוגדרת כ־[math]\displaystyle{ \langle f,g\rangle=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx }[/math].

משפט

סדרת הפונקציות [math]\displaystyle{ \left\{\frac1\sqrt2,\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x),\dots\right\} }[/math] היא מערכת אורתונורמלית ב־[math]\displaystyle{ E }[/math].

הוכחה

נראה כי מכפלה פנימית של כל זוג איברים שונים במערכת שווה ל־0, ושנורמה של כל איבר היא 1:

[math]\displaystyle{ \begin{align}\left\langle\frac1\sqrt2,\sin(nx)\right\rangle&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac1\sqrt2\sin(nx)\mathrm dx=\left[-\frac1\pi\\frac1\sqrt2\frac1n\cos(nx)\right]_{x=-\pi}^\pi=\frac{-1}{\sqrt2\pi n}\Big(\cos(n\pi)-\cos(n\pi)\Big)=0\\\left\langle\frac1\sqrt2,\cos(nx)\right\rangle&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac1\sqrt2\cos(nx)\mathrm dx=\left[\frac1\pi\\frac1\sqrt2\frac1n\sin(nx)\right]_{x=-\pi}^\pi=\frac1{\sqrt2\pi n}\Big(\sin(n\pi)-\sin(n\pi)\Big)=0\\\left\langle\sin(mx),\cos(nx)\right\rangle&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(mx)\cos(nx)\mathrm dx=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{\sin((n+n)x)+\sin((m-n)x)}2\mathrm dx=-\frac1{2\pi}\left[\frac{\cos((m+n)x)}{m+n}+\frac{\cos((m-n)x)}{m-n}\right]_{x=-\pi}^\pi=0\end{align} }[/math]

הערה: נעזרנו ב־[math]\displaystyle{ \sin(\alpha)\cos(\beta)=\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}2 }[/math] דרך נוספת תהיה להשתמש פעמיים באינטגרציה בחלקים: [math]\displaystyle{ \int\sin(mx)\cos(nx)\mathrm dx=\left[\frac{n\sin(mx)\sin(nx)-m\cos(mx)\cos(nx)}{1-m^2}\right]_{x=-\pi}^\pi=0 }[/math]. עדיף לבדוק לפני ביצוע האינטגרציה אם מדובר בפונקציה זוגית או אי־זוגית.

באותו אופן ניתן להראות ש־[math]\displaystyle{ \langle\sin(mx),\sin(nx)\rangle=\langle\cos(mx),\cos(nx)\rangle=0 }[/math].

עתה נראה שהנומה של כל איבר היא 1:

[math]\displaystyle{ \begin{align}\left\|\frac1\sqrt2\right\|^2&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{\mathrm dx}{\sqrt2^2}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\\\|sin(nx)\|^2&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\sin^2(nx)\mathrm dx=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1-\cos(2nx)}2\mathrm dx=\frac1\pi\left[\frac x2-\frac{\sin(2nx)}{4n}\right]_{x=-\pi}^\pi=1\\\|\cos(nx)\|^2&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\cos^2(nx)\mathrm dx=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1+\cos(2nx)}2\mathrm dx=1\end{align} }[/math]

מערכת סגורה

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ \{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\dots\} }[/math] מערכת אורתונורמלית אינסופית במרחב מ״פ [math]\displaystyle{ V }[/math]. המערכת תקרא סגורה ב־[math]\displaystyle{ V }[/math] אם [math]\displaystyle{ \forall\mathbf u\in V:\ \lim_{n\to\infty}\left\|\mathbf u-\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k\right\|=0 }[/math].

מסקנה: ניתן להציג כל [math]\displaystyle{ f }[/math] בעזרת צירוף לינארי אינסופי של האיברים השייכים למערכת האורתונורמלית האינסופית. נמצא את סדרת מקדמי פורייה עבור המערכת האורתונורמלית החדשה שהגדרנו.

[math]\displaystyle{ \begin{align}1.&\mathbf e_1(x)=\frac1\sqrt2\\&a_0:=\langle f,\mathbf e_1\rangle\mathbf e_1=\left(\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\frac1\sqrt2\mathrm dx\right)\frac1\sqrt2=\frac1{2\pi}\itn\limits_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm dx\\2.&\mathbf e_n=\sin(nx)\\&\langle f,\mathbf e_n\rangle\mathbf e_n=\left(\underbrace{\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\mathrm dx}_{b_n}\right)\sin(nx)\\3.\mathbf e_n=\cos(nx)\\&\langle f,\mathbf e_n\rangle\mathbf e_n=\left(\underbrace{\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\mathrm dx}_{a_n}\right)\cos(nx)\end{align} }[/math]

לסיכום, ניתן לרשום את כל הטור בצורה הבאה: [math]\displaystyle{ \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \begin{cases}a_n=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\mathrm dx,&n=0,1,2,\dots\\b_n=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\mathrm dx,&n=1,2,\dots\end{cases} }[/math]

טור פורייה

תהי [math]\displaystyle{ f\in E }[/math]. הטור [math]\displaystyle{ \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \begin{cases}a_n=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\mathrm dx,&n=0,1,2,\dots\\b_n=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\mathrm dx,&n=1,2,\dots\end{cases} }[/math] נקרא טור פורייה של [math]\displaystyle{ f }[/math] ויסומן [math]\displaystyle{ f(x)\~{}\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big) }[/math].

פונקציות זוגיות ואי־זוגיות

תכונות:

מכפלה של פונקציות זוגיות היא זוגית.
מכפלה של פונקציות אי־זוגיות היא זוגית.
מכפלה של פונקציה זוגית ופונקציה אי־זוגית היא אי־זוגית.

משפט

תהי [math]\displaystyle{ f\in E }[/math].

אם [math]\displaystyle{ f }[/math] זוגית אז טור פורייה שלה הוא [math]\displaystyle{ \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx) }[/math]. טור כזה נקרא "טור קוסינוסים".
אם [math]\displaystyle{ f }[/math] אי־זוגית אז טור פורייה שלה הוא [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty b_n\sin(nx) }[/math]. טור כזה נקרא "טור סינוסים".

תרגיל

מצא טור פורייה של [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}1,&x\ge0\\-2,&x\lt 0\end{cases} }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math].

פתרון

ראשית, נשים לב שהפונקציה אינה זוגית ואינה אי־זוגית. מתקיים

[math]\displaystyle{ \begin{align}a_0&=\frac1\pi\int\limtis_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm dx=\frac1\pi\int\limtis_{-\pi}^0 -2\mathrm dx+\frac1\pi\int\limtis_0^\pi\mathrm dx=\frac1\pi[-2x]_{x=-\pi}^0+\frac1\pi[x]_{x=0}^\pi=-2+1=-1\\a_n&=\frac1\pi\int\limtis_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\mathrm dx=0\\b_n&=\frac1\pi\int\limtis_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\mathrm dx=\begin{cases}0,&n\in2\mathbb Z\\\frac6{\pi n},&n\in2\mathbb Z+1\end{cases} }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ f(x)\~{}-\frac12+\sum_{n=1}\frac6{(2n-1)\pi\sin((2n-1)x) }[/math]. נשים לב שזה עדיין לא טור סינוסים, בגלל האיבר [math]\displaystyle{ -\frac12 }[/math] שבהתחלה.

תרגיל

מצא טור פורייה של [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math] ב־[math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math].

פתרון

[math]\displaystyle{ f }[/math] אי־זוגית ולכן נחשב לה טור סינוסים: [math]\displaystyle{ b_n=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi x\sin(nx)\mathrm dx=\begin{bmatrix}u=x&u'=1\\v'=\sin(nx)&v=-\frac{\cos(nx)}n\end{bmatrix}=2\left[-\frac{x\cos(nx)}n\right]_{x=0}^\pi+\frac2\pi\int\limits_0^\pi\frac{\cos(nx)}n\mathrm dx=\frac2\pi\left(\frac{-\pi(-1)^n}n+\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_{x=0}^\pi=\frac{2(-1)^{n+1}}n }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ x\~{}\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}n\sin(nx) }[/math].

תרגיל

נתונה [math]\displaystyle{ f\in E[-\pi,\pi] }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb C }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ G(a,b,c)=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi|f(x)+a+b\cos(x)+c\sin(x)|\mathrm dx }[/math]. עברו אילו ערכים של [math]\displaystyle{ a,b,c }[/math] מקבלת [math]\displaystyle{ G }[/math] את ערכה המינימלי?

פתרון

נשים לב ש־[math]\displaystyle{ G(a,b,c)=\|f(x)-{\color{Blue}(-a-b\cos(x)-c\sin(x))}\|^2 }[/math]. אם החלק הכחול הוא ההיטל האורתוגנולי של [math]\displaystyle{ f }[/math] אז מובטח לנו ש־[math]\displaystyle{ G(a,b,c) }[/math] מקבל את ערכו המינימלי. נפתור זאת:

[math]\displaystyle{ \begin{align}-a&=\frac{\langle f,1\rangle}{\|1\|^2}=\frac{\tfrac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm dx}{\tfrac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\mathrm dx}=\frac1{2\pi}\int\limtis_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm dx\\-b&=\frac{\langle f,\cos\rangle}{\|cos\|^2}=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(x)\mathrm dx\\-c&=\frac{\langle f,\sin\rangle}{\|\sin\|^2}=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(x)\mathrm dx\end{align} }[/math]

נתייחס למרחב הלינארי [math]\displaystyle{ \ell_2 }[/math] ולאיבר [math]\displaystyle{ x=\left\{\frac{5^n-3^n}{7^n}\right\}_{n=1}^\infty }[/math]. מתקיים [math]\displaystyle{ \|x\|_2^2=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{5^n-3^n}{7^n}\right)^2=\sum_{n=1}^\infty\frac{25^n-2\cdot15^n+9^n}{49^n}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{25}{49}\right)^n-2\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{15}{49}\right)^n+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac9{49}\right)^n }[/math] אלה טורים הנדסיים והתוצאה היא [math]\displaystyle{ \frac{16}{85} }[/math]. לכן, [math]\displaystyle{ \|x\|_2=\frac4\sqrt{85} }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]