משפט ההגדרה

חזרה למשפטים בלינארית

משפט ההגדרה

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו נוצר סופית, ויהי [math]\displaystyle{ B=\{v_1,\ldots,v_n\} }[/math] בסיס ל־[math]\displaystyle{ V }[/math] . יהי [math]\displaystyle{ W }[/math] מ"ו נוצר סופית ויהיו [math]\displaystyle{ w_1,\ldots,w_n }[/math] וקטורים כלשהם (לא בהכרח שונים)

אזי קיימת העתקה לינארית יחידה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] המקיימת:

[math]\displaystyle{ \begin{align}Tv_1&=w_1\\&\vdots\\Tv_n&=w_n\end{align} }[/math]

הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס [math]\displaystyle{ B }[/math]

[math]\displaystyle{ v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n }[/math]

לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה [math]\displaystyle{ T }[/math] על ידי

[math]\displaystyle{ Tv=a_1w_1+\cdots+a_nw_n }[/math]

קל מאד להראות כי [math]\displaystyle{ T }[/math] המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר [math]\displaystyle{ Tv_i=w_i }[/math]).

נותר להוכיח כי [math]\displaystyle{ T }[/math] יחידה. אמנם, אם [math]\displaystyle{ S }[/math] העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר [math]\displaystyle{ Sv_i=w_i }[/math]), מתקיים:

[math]\displaystyle{ \forall v\in V:Sv=S(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)=a_1Sv_1+\cdots+a_nSv_n=a_1w_1+\cdots+a_nw_n=Tv }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ S=T }[/math] .