קירוב לינארי

בערך זה נתאר רעיונות עקרוניים באופן בלתי מדויק, במטרה להבין את מושג הנגזרת.

גזירות

פונקציה נגזרת גזירה או דיפרנציאבילית אם באופן מקומי היא "מתנהגת" כמו פונקציה לינארית.

בפונקציות במשתנה אחד, פונקציה היא גזירה בנקודה אם בסביבת הנקודה היא מתנהגת כמו קו ישר - המשיק. הנגזרת בנקודה היא שיפוע אותו הישר, שיפוע המשיק.

קירוב לינארי

לפיכך, אם פונקציה במשתנה אחד גזירה בנקודה x אנחנו מצפים שעבורים צעדים "קטנים" h יתקיים:

[math]\displaystyle{ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\approx f'(x) }[/math]

בנוסח אחר אנחנו מצפים כי

[math]\displaystyle{ f(x+h)-f(x)\approx f'(x)h }[/math]

או

[math]\displaystyle{ f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h }[/math]

נשים לב כי הביטוי מימין הוא הישר המשיק לגרף הפונקציה f בנקודה x, ואנחנו סה"כ אומרים שהפונקציה תהיה בערך שווה למשיק באיזור הנקודה.

דוגמא

עבור [math]\displaystyle{ f(x)=\sqrt(x) }[/math] מתקיים כי הנגזרת בנקודה [math]\displaystyle{ x=9 }[/math] היא [math]\displaystyle{ f'(9)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{6} }[/math]

לכן למשל עבור [math]\displaystyle{ h=1 }[/math] נקבל כי

[math]\displaystyle{ \sqrt{10}=f(9+h)\approx f(9)+f'(9)\cdot h=3+\frac{1}{6}\cdot 1 }[/math]

ואם נציב במחשבון את שני הצדדים נראה שאכן

[math]\displaystyle{ \sqrt{10}=3.162...\approx 3.166...=3+\frac{1}{6} }[/math]