מכפלה פנימית מושרית

בכל מרחב מכפלה פנימית ניתן להגדיר נורמה, הנובעת מהמכפלה הפנימית, הנקראת נורמה מושרית: [math]\displaystyle{ ||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} }[/math].

בערך זה נלמד באילו תנאים נורמה היא נורמה מושרית, ומה היא המכפלה הפנימית הנובעת מהנורמה, או המכפלה הפנימית המושרית.

כלל המקבילית

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית ויהיו [math]\displaystyle{ x,y\in V }[/math]. כלל המקבילית אומר שעבור הנורמה המושרית מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ ||x+y||^2 +||x-y||^2 =2 ||x|^2 +2||y||^2 }[/math]

הוכחת כלל המקבילית

• [math]\displaystyle{ ||x+y||^2+||x-y||^2=\langle x+y,x+y\rangle+\langle x-y,x-y\rangle= }[/math]
• [math]\displaystyle{ =\langle x, x\rangle +\langle x,y \rangle + \langle y,x \rangle + \langle y, y\rangle + \langle x, x\rangle -\langle x,y \rangle - \langle y,x \rangle + \langle y, y\rangle= }[/math]
• [math]\displaystyle{ =2\langle x, x\rangle+2\langle y, y\rangle = 2 ||x|^2 +2||y||^2 }[/math]