משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11
אינטגרציה
הגדרה שגוייה: אינטגרל הוא לא השטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח שמתחת לגרף מוגדר להיות תוצאת האינטגרל (כפי שאנחנו מכירים מהחומר לבגרות).
דוגמת חישוב (ידני) של השטח:
(1)
ברור שטחי המלבנים בוודאי גדול משטח הגרף (נתעלם כרגע מהעובדה שלא הגדרנו את האינטגרל ולכן השטח לא מוגדר).
נחלק את הקטע :
מעל כל תת קטע קטן
נבנה "מלבן חוסם" שגובהו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left(k\over n\right)^2=x_k^2 . ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \bar S=\sum_{k=1}^n\frac1n\left(k\over n\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}
כמו כן, מעל כל קטע קטן נבנה "מלבן חסום" שגובהו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left(k-1\over n\right)^2=x_{k-1}^2
ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \underline S=\frac1n\sum_{k=1}^n\left(k-1\over n\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}
כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-.
(2)
ז"א .
הדבר נכון לכל
. לכן נוכל להשאיף
לקבל
ולכן
בניית האינטגרל לפי דרבו - אחר כך!
הגדרה: תהי מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה
קדומה ל-f ב-I אם
.
דוגמה: ...
משפט 0: אם ו-
קדומות ל-
בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-
הוכחה: נגדיר לכן
....
לפי תוצאה ממשפט לגראנג'
הגדרה: תהי רציפה בקטע
.
...
המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית): תהי מוגדרת ורציפה ב-
. לכל
נגדיר
אזי
לכל
.
2) אם קדומה ל-
ב-
אז
.
הוכחה: (א) (3)
רואים
המטרה
.
עולה
כעת לפי ההגדרה
בציור עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): A(x+\Delta x}-A(x)
= השטח הארובה
= בסיס הארובה
לכן
= הגובה הממוצע של הארובה.
כאשר זה שואף ל-
שהיא
.
(ב) נתונה פונקציה קדומה אבל מחלק א ידוע שגם
פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-
לכן
הגישה של דרבו
תהי מוגדרת וחסומה
בקטע
. נגדיר את התנודה של f ע"י
. כעת נגדיר חלוקה P של