משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/15.3.11
דוגמה נוספת ל-:
יש הצבה אוניברסלית: מציבים לכן וכן ו-. האינטגרל הופך לאינטגרל של פונקציה רציונלית של t (שאפשר לחשב עם שברים חלקיים).
תוכן עניינים
דוגמאות=
- : נציב t כנ"ל ונקבל ומכאן פותרים בשברים חלקיים. גישה יותר חכמה: מתקיים ולכן נגדיר . האינטגרל הוא . פותרים שברים חלקיים, אלא שהפעם זה יותר פשוט.
- ועם זה שווה ל-. גישה אחרת: נציב והאינטגרל הוא . דרך המלך: .
- נציב ונקבל וניתן לעשות זאת, אבל זה לא נעים. דרך אחרת: ונציב . נקבל וקל לפתור זאת ע"י שברים חלקיים. דרך המלך: נציב ושוב הגענו ל-. ניסיון אחרון: . .
אינטגרלים עם שורשים
לאינטגרל מהסוג עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \int R\left(x,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac nm\right),\dots,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac km\right)\mathrm dx . תועיל הצבה:
=דוגמאות
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \int\frac{\mathrm dx}{x(\sqrt x+\sqrt[5]{x^2})}=\int\frac{\mathrm dx}{x(x^\frac 5{10}+x^\frac^4{10})}
נציב אזי נקבל ופותרים בשברים חלקיים. דרך אחרת: (כי טור הנדסי). לפי זה נקבל עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \int\frac{\mathrm dt}{t^5(t+1)}=\int\frac{(1+t)(1-t+t^2-t^3+t^4)}{t^5(t+1)}\frac{-t^5}{(1+t)t^5}\mathrm dt=\int(t^{-5}-t^{-4}+t^{-3}-t^[-2}+t^{-1})\mathrm dt=\dots
.
- נציב ואז וכך לכן נציב והאינטגרל הוא .
לאינטגרלים מהסוג עבור : אם אז תועיל הצבה עבור q המכנה המשותף של n,m. למשל:
נציב ונקבל , שזה אינטגרל של פולינום (ארוך).
אם אז תועיל הצבה עבור q המכנה של p. לדוגמה: ולכן נציב נקבל .
דוגמאות נוספות
- נציב עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \implis לא מוכרת): x=2\sin(t)\implis \mathrm dx=2\cos(t)\mthrm dt
ונקבל
- עבור קבוע נציב <\math>x=a\tan(\theta)\implies \mathrm dx=a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta</math> ונקבל . תשובה סופית: .
- נציב ונקבל עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \mahrm לא מוכרת): \int\sqrt{a^2\sec^2(\theta)-a^2}a\sec(\theta)\tan(\theta)\mathrm d\theta=\int a^2\sec(\theta)\tan^2(\theta)\mahrm d\theta=a^2\int (\sec^2(\theta)-\sec(\theta))\mathrm d\theta
.
בחזרה לאינטגרל המסויים
כזכור, אם f רציפה ב- אז קיימת לה פונקציה קדומה F בקטע זה, ומתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ .
אינטגרציה בחלקים באינטגרל המסויים
כזכור מתחילים עם הזהות ונקבל . נעביר אגף לקבל . בכל אינטגרציה בחלקים באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:
- להתעלם מהגבולות עד שנמצא פונקציה קדומה באינטגרל לא מסויים, ובסוף נחזיר את הגבול.
- להשתמש בנוסחה זו.
דוגמאות
- . נקבל
גם באינטגרציה ע"י הצבה באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:
- להתעלם מהגבולות ולפתור אינטגרל מסויים, ואח"כ להציב גבולות.
- להחליף את הגבולות כאשר מחליפים משתנים. נסביר זאת:
בהצבה מתחילים כלל השרשרת אם F קדומה ל-f אז זה שווה ל- לכן
פורמלית: באינטגרל עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \circle לא מוכרת): \int\limits_a^b (f\circle \phi)\cdot\phi'
מציבים