משתמש:אור שחף/133 - תרגול/1.5.11
תוכן עניינים
אינטגרלים לא אמיתיים
מקרה ראשון
לפחות אחד מגבולות האינטגרל הוא אינסוף.
דוגמה 1
הראה כי מתכנס ומצא חסם עליון.
פתרון
ברור כי עבור הקטע
, שם נפעיל את האינטגרל:
. עבור הקטע
, שם ברור כי מתקיים
, לכן
ואז עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \limtis לא מוכרת): \int\limits_1^\infty e^{-x^2}\mathrm dx\le\int\limtis_1^\infty e^{-x}\mathrm dx=\left[-e^{-x}\right]_{x=1}^\infty=\frac1e
. לכן בסה"כ
.
מבחן דיריכלה
f ו-g רציפות. אם
- f יורדת לאפס.
- הנגגזרת של f רציפה.
-
חסומה.
אזי מתכנס.
דוגמה 2
הוכיחו כי לכל האינטגרל עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \matghm לא מוכרת): \int\limits_1^\infty\frac{\sin(x)}{x^\alpha}\matghm dx
מתכנס.
פתרון
נסמן וכן
. עבור
ברור כי f רציפה בקטע,
רציפה ן-f יורדת לאפס. ברור כי g רציפה. נוכיח כי G חסומה
. מסכנה: ממשפט דיריכלה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \matghm לא מוכרת): \int\limits_1^\infty\frac{\sin(x)}{x^\alpha}\matghm dx
.
אינטגרלים לא אמיתיים - סוג שני
במקרה זה מסתכלים בסביבה של נקודת אי-רציפות.
הגדרה: נניח f אינטגרבילית בכל תת קטע של
וכן לא חסומה בסביבת a. אם קיים
אז
. באופן דומה מגדירים עבור גבול אינטגרציה עליון.
אם נקודת אי-רציפות נרשום
. ושוב באופן דומה לאינטגרל לא אמיתי מסוג I שני האינטגרלים צריכים להתכנס.
כלל ידוע: מתכנס אם"ם
.
דוגמה 3
יהי . הוכיחו כי
מתכנס אם"ם
.
פתרון
ואז
.
נעשה הצבה ואז
. לפיכך מספיק לפתור את האינטגרל (נסתכל תחילה על האינטגרל הלא מסויים). עבור
:
ועבור
:
.
נחזור ל-x: (עבור המקרה ) נקבל
.
עבור נקבל
.
את המקרה הנ"ל החלק לשני תת מקרים:
- אם
, כלומר
אז
ולכן
.
- אם
, כלומר
, אזי ברור כי
.
מבחן ההשוואה לאינטגרל לא אמיתי מסוג II
אז אם
מתכנס גם
מתכנס.\
מבחן ההשוואה הגבולי
וכן
.
- אם
נאמר ש-
ו-
מתבדרים או מתכנסים יחדיו.
- אם
אז התכנסות
גוררת התכנסות
.
- אם
אז התכנסות
גוררת התכנסות
.
דוגמה 4
קבעו התכנסות של .
פתרון
נשווה ל-.
.
ידוע כי
מתבדר ולכן האינטגרל הנתון מתבדר גם כן.
דוגמה 5
קבעו התכנסות .
פתרון
קל לעבור מסוג II לסוג I ע"י הצבה . לכן
. נקבל
. ניתן להראות כי אינטגרל זה מתכנס בדומה למה שעשינו עם
, בעזרת מבחן דיריכלה.
דוגמה 6
הוכיחו התכנסות בתנאי של .
פתרון
מצאנו כבר כי מתכנס. נותר לבדוק התכנסות בקטע
. תחילה נבדוק התכנסות בהחלט:
ברור כי
. אם רוצים להשתמש במבחן ההשוואה צריך ביטוי קטן ממנו להראות התבדרות. למשל
ואז
. צד שמאל מתבדר ולכן אין התכנסות בהחלט.
נמשיך בתרגול הבא.