התכנסות במ"ש (המשך)

משפט דיני

אם [math]\displaystyle{ f_n }[/math] סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ומתכנסת נקודתית בקטע זה לפונקציה רציפה f. בנוסף [math]\displaystyle{ f_n }[/math] סדרה עולה לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f_n }[/math] מתכנסת במ"ש ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

דוגמה 1

בדוק הכנסות עבור הסדרה [math]\displaystyle{ f_n(x)=\sqrt[n]{\sin(x)} }[/math] בקטע

[math]\displaystyle{ \left[\frac\pi4,\frac34\pi\right] }[/math]

פתרון

נישם לב שעבור x בקטע [math]\displaystyle{ \sin(x)\gt 0 }[/math]. קל לראות גם שפונקצית הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin(x)}=1 }[/math]. ברור כי [math]\displaystyle{ f_n }[/math] רציפות ובקטע מתקיים [math]\displaystyle{ \sqrt[n+1]{\sin(x)}\ge\sqrt[n]{\sin(x)} }[/math]. ברור כי פונקציה הגבול רציפה ולכן מתקיימים תנאי משפט דיני, מכאן שההתכנסות במ"ש. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

[math]\displaystyle{ (0,\pi) }[/math]

פתרון

נשים לב שנתון קטע פתוח, לכן לא ניתן להשתמש בתנאי דיני. ברור לנו שפונקצית הגבול [math]\displaystyle{ f(x)=1 }[/math] ומכיוון ש-[math]\displaystyle{ \sup_{x\in(0,\pi)}\left|1-\sqrt[n]{\sin(x)}\right|=1\ne0 }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה 2

קבעו אם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x^{2n} }[/math] מתכנס ב-[math]\displaystyle{ \left[-\frac34,\frac34\right] }[/math].

פתרון

נשתמש בטור הנדסי, נרשום [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x^{2n}=\sum_{n=1}^\infty \left(x^2\right)^n=\frac{x^2}{1-x^2} }[/math] ולכן יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). מסקנה: לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה 3 משיעור קודם

הוכח או הפרך: אם [math]\displaystyle{ f_n:[a,b]\to[c,d] }[/math] סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקצית הגבול f וכן [math]\displaystyle{ f:[c,d]\to\mathbb R }[/math] פונקציה רציפה אז [math]\displaystyle{ g\circ f_n }[/math] היא סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש לפונקצית הגבול [math]\displaystyle{ g\circ f }[/math].

פתרון

נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] יש [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ |y_1-y_2|\lt \delta }[/math] אז [math]\displaystyle{ |g(y_1)-g(y_2)|\lt \varepsilon }[/math]. בנוסף נתון ש-[math]\displaystyle{ f_n }[/math] מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f_n(x)-f(x)|\lt \delta }[/math] (בפרט אפשר לבחור [math]\displaystyle{ \varepsilon=\delta }[/math]. נשים לב ש-[math]\displaystyle{ g\circ f_n }[/math] מוגדרת היטב ושם לכל [math]\displaystyle{ a\le x\le b }[/math] ובפרט עבור [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |g(f_n(x))-g(f(x))|\lt \varpesilon }[/math].

מבחן ה-M של ווירשטראס

יהי [math]\displaystyle{ \sum f_n(x) }[/math] טור פונקציות בקטע I. אם קיים טור מתכנסשל מספרים חיוביים [math]\displaystyle{ \sum a_n\lt M }[/math] כך שלכל n גדול מספיק ולכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f_n(x)|\le a_n }[/math] אז [math]\displaystyle{ \sum f_n(x) }[/math] מתכנס במ"ש ב-I.

דוגמה 4

הוכח כי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n }[/math] מתכנס במ"ש ב-[math]\displaystyle{ [0,1] }[/math].

פתרון

נרשום את הטור כ-[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty (x(1-x))^n }[/math] נסמן [math]\displaystyle{ f(x)=x(1-x) }[/math] ונחסום אותה: [math]\displaystyle{ f(x)=x-x^2\implies f'(x)=1-2x }[/math] ו-[math]\displaystyle{ f'(x)=0\iff x=\frac12 }[/math], שהיא מקסימום כי [math]\displaystyle{ f''(1/2)=1-2=-1\lt 0 }[/math]. נותר לבדוק את קצוות הקטע: [math]\displaystyle{ x\in[0,1]\implies0\le x(1-x)\le\frac14\implies f_n(x)=(x(1-x))^n\le\left(\frac14\right)^n }[/math]. לפי מבחן ה-M של ווירשטרס [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac1{4^n} }[/math] מתכנס (כי זהו טור הנדסי) ולכן מקבילים כי הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n }[/math] מתכנס במ"ש.

אינטגרציה איבר-איבר בסדרות

אם [math]\displaystyle{ f_n }[/math] סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש. לפונקציות f בקטע I אז f אינטגרבילית בקטע ומתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n=\int\limits_a^b\lim_{n\to\infty}f_n=\int\limits_a^b f }[/math]

דוגמה 5

קבע האם [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n }[/math] מתכנס כאשר [math]\displaystyle{ 0\le x\le1 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ f_n(x)=nxe^{-nx^2} }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ y=x^2 }[/math] ואז [math]\displaystyle{ \int\limits_0^1 f_n=\frac12\int\limits_0^1ne^{-ny}\mathrm dy=\frac12\left[\frac{ne^{-ny}}{-n}\right]_{y=0}^1=-\frac12e^{-n}+\frac12\to\frac12 }[/math] עבור צד ימין [math]\displaystyle{ f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{e^{nx2}}=0 }[/math] (השיוויון האחרון לפי לופיטל) ולכן ברור כי [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 n\lt math\gt xe^{-nx^2}\mathrm dx }[/math]</math> ז"א אכן לא מתקיים שיוויון.

נראה ש-[math]\displaystyle{ f_n }[/math] לא מתכנסת במ"ש.

=פתרון

ברור כי פונקצית הגבול היא 0. נשתש במבחן ה-M (כי כל גישה אחרת דורשת חלוקה לקטעים). נחפש מקסימום ל-[math]\displaystyle{ f_n(x) }[/math]: [math]\displaystyle{ f_n'(x)=-2n^2x^2e^{-n^2x^2}+ne^{-nx^2}=ne^{-n^2x^2}(-2x^2n+1)=0 }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ x=\frac1\sqrt{2n} }[/math]. מתקיים [math]\displaystyle{ \sup|\frac n\sqrt{2n}e^{-\frac n{4n}}-0|\not\to0 }[/math].