משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/17.5.11
את משפט 10 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-17.6.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.
התכנסות במ"ש של טורים (המשך)
דוגמה
נבנה פונקציה S רציפה ב- שאינה גזירה באף נקודה. תחילה נגדיר
בקטע
עם המשך מחזורי בכל
:
לכן וכן אם
אז
, ואחרת הנגזרת לא קיימת. כמו כן נגדיר
ואז
וכן אם
אז
. נמשיך להגדיר
ולכן
ואם
אז
. לבסוף, נגדיר
אזי S רציפה ב-
(כי כל
רציפה והטור מתכנס במ"ש עפ"י מבחן ה-M של וירשטרס:
ו-
מתכנס).
הוכחה שגויה לכך שהפונקציה לא גזירה: שמתבדר (כי
), ולכן הפונקציה אינה גזירה בשום נקודה. הוכחה זו אינה נכונה כי היא מתבססת על הטענה שאומרת שאם
במ"ש ואם
לא קיים אז f לא גזירה, טענה שאפשר לסתור בעזרת
שהגדרנו קודם:
ולכן הפונקציה הגבולית (שהיא 0) גזירה, אבל
שמתבדר בין
ל-1, עם ערכים לא מוגדרים באמצע.
הוכחה נכונה: נאמר ששתי נקודות שונות מקיימות את התכונה
הן נמצאות בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של
(למשל הקטע
, כי הוא נמצא בין נקודות הקיצון שב-0 וב-1, או הקטע
וכו'). אם
מקיימות זאת אזי
. נמשיך כך ונאמר ששתי נקודות
מקיימות תכונה
אם"ם הן בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של
. במקרה כזה
. נשים לב שאם הנקודות
מקיימות
אז הן מקיימות
, ובהכללה
. כעת יהי
נתון ונוכיח כי
לא קיים. מספיק להוכיח שעבור סדרה
כלשהי כך ש-
לא קיים הגבול
. נבחר
אם
מקיימות
, ו-
אחרת. נשים לב שבכל מקרה הנקודות
מקיימות
כי אם
לא מקיימות
אזי יש בין שתיהן נקודת קיצון של
. ההפרש בין שיעורי ה-x של שתי נקודות קיצון סמוכות ב-
הוא
ולכן
כן מקיימות
. כמו כן ברור כי
. מתקיים
. כיוון ש-
מקיימות
מתקיימת לכל
הטענה
. עבור
המחזור של
הוא
. אם
אז
הוא מספר שלם של מחזורים, ולכן
, ומכאן ש-
. לפיכך לכל m נקבל
. כאשר
הגבול לא קיים ולכן S לא גזירה ב-x, והטענה נכונה לכל x.