88-101 חשיבה מתמטית קיץ תשעא/תרגילים

מתוך Math-Wiki

תרגיל 1 להגשה ליום רביעי ה20 ביולי

הצרנות

  • הצרן את הטענות הבאות (מותר לכם להשתמש בפרדיקטים סבירים, בתנאי שתגדירו אותם):
    • לכל מספר ממשי יש מספר טבעי הגדול ממנו.
    • אקסיומת האינדקוציה: אם פרידקט כלשהו אמיתי באחד ([math]\displaystyle{ P(1)\equiv T }[/math]) וכמו כן, העובדה שהוא אמיתי עבור n גוררת שהוא אמיתי עבור n+1 אזי הוא אמיתי תמיד.
    • x הינו מספר ראשוני (מספר המתחלק רק בעצמו ובאחד).
    • כל מספר ראשוני הינו סכום של מספרים זוגיים.
    • קיימים אינסוף תאומים (תאומים הם זוג ראשוניים אשר ההפרש בינהם הינו שתים.)

קבוצות

הגדרה: איחוד של שתי קבוצות A וB הוא קבוצת האיברים שנמצאים לפחות באחת הקבוצות. החיתוך הוא קבוצת האיברים שנמצאים בשתי הקבוצות.

  • הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לאיחוד של הקבוצות A וB
  • הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לאיחוד של הקבוצות A וB
  • הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לחיתוך של הקבוצות A וB
  • הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לחיתוך של הקבוצות A וB

הגדרה: קבוצה A מוכלת בקבוצה B אם בB נמצאים כל האיברים מA (למשל הטבעיים מוכלים בשלמים [math]\displaystyle{ \mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z} }[/math], והשלמים מוכלים בממשיים [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}\subseteq\mathbb{R} }[/math]).

  • הצרן תנאי השקול לכך ש-C מוכלת בחיתוך של A וB
  • הצרן תנאי השקול לכך ש-C אינה מוכלת באיחוד של A וB


(מותר לכם להשתמש בכמתים באופן הבא [math]\displaystyle{ \forall a\in A, \exists a\in A }[/math])