שדות - תכונות בסיסיות
תוכן עניינים
הרחבות של שדות
הגדרה: יהיה שדה. הרחבה של
היא כינוי לכל שדה
המכיל את
. לרוב כותבים גם
. באופן טבעי
הוא מרחב וקטורי מעל
. המימד של
מעל
יסומן ב-
(הוא אינו חייב להיות סופי).
דוגמא: היא הרחבת שדות ממימד סופי.
היא הרחבת שדות ממימד אינסופי.
טענה: יהיו שדות. אזי
.
הרעיון של ההוכחה: אם הוא בסיס ל-
כמרחב וקטורי מעל
ו-
הוא בסיס ל-
כמרחב וקטורי מעל
אז הקבוצה
היא בסיס ל-
כמרחב וקטורי מעל
והיא בעלת
איברים (זה לא טריוויאלי).
תכונה: אם שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של
הוא גם שדה.
הגדרה: נניח ש- שדה ו-
תת שדות של
. הקומפוזיטום של
הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את
. הוא יסומן ב-
.
איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים
הגדרה: תהי הרחבת שדות ו-
. האיבר
נקרא אלגברי מעל
אם קיים פולינום
כך ש-
. אם לא קיים פולינום כזה,
נקרא טרנסצנדנטי מעל
.
דוגמא: הוא אלגברי מעל
כי הוא מאפס את
. לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים
הם טרנסצנדנטיים מעל
.
הערה: לא קשה להראות כי כמות המספרים המרוכבים האלגבריים מעל היא בת מנייה. לכן, בהכרח קיימים ב-
(וגם ב-
) איברים טרנסצנדנטיים. (זו הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך שקיימים מספרים טרנצנדנטיים).
דוגמא: יהיה שדה ויהי
שדה השברים של
. קל לבדוק כי
טרנסצנדנטי מעל
. למעשה, כל איבר ב-
הוא טרנסצנדנטי.
הערה: אם שדות ו-
אלגברי מעל
אז הוא גם אלגברי מעל
. (נובע ישירות ע"י שימוש בהגדרה מכך ש-
.)
הגדרה: הרחבת שדות נקראת אלגברית אם כל איבר ב-
אלגברי מעל
.
סימון: תהי הרחבת שדות ו-
. מסמנים
.
טענה: תהי הרחבת שדות ו-
. אזי
אלגברי מעל
אם ורק אם המימד של
כמרחב וקטורי מעל
סופי. במקרה זה
שדה.
הוכחה: כוון אחד: נניח ש-. אזי הקבוצה
היא בגודל
ולכן תלויה לינארית מעל
. לכן קיימים
, לא כולם 0, כך ש-
. אם נגדיר
אז
ובעצם הראינו
. לכן
אלגברי מעל
.
כוון שני: נניח שקיים כך ש-
. נסמן
. מספיק להראות ש-
קבוצה פורשת (מעל
) ל-
. יהי
אזי
עבור
כלשהו. קיימים פולינומים
כך ש-
וגם
. אזי
ו-
כי
.
כדי לראות שבמקרה זה שדה, נשים לב ש-
הוא תחום שלמות ממימד סופי מעל
ולכן סיימנו הודות לתרגיל הבא:
תרגיל: יהי תחום שלמות ו-
שדה כך ש-
. אזי
שדה. [רמז: לכל
ההעתקה
היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).]
מסקנה: אם הרחבת שדות ממעלה סופית (כלומר
היא הרחבה אלגברית.
תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו
תרגיל: תהי הרחבת שדות ו-
אלגבריים מעל
. הראו כי
שדה והמימד שלו מעל
סופי. הראו כי זה תת השדה הקטן ביותר המכיל את
ואת
. (הערה:
מוגדר באופן אינדוקטיבי ע"י
. קיימות גם הגדרות שקולות אחרות.)
תרגיל: תהי הרחבת שדות,
אלגבריים מעל
ו-
. הוכיחו כי הקומפוזיטום של
ו-
הוא
.
איברים אלגבריים - מבט מעמיק
טענת עזר: תהי הרחבת שדות ו-
אלגבריים. אזי
הרחבה אלגברית.
הוכחה: לפי טענה מקודם מספיק להראות ש-. מתקיים
ולכן מספיק להראות סופיות של כל אחד מהגורמים במכפלה. לפי אותה טענה
כי
אלגברי מעל
. בנוסף,
אלגברי מעל
ולכן גם מעל
. כעת, אותה טענה גם אומרת כי
ולכן גמרנו.
מסקנה: אם הרחבת שדות ו-
אלגבריים מעל
, אז גם
אלגבריים מעל
.
תרגיל: בהנחות של המסקנה, אם אז גם
אלגברי.
מסקנה: תהי הרחבת שדות. נסמן ב-
את כל האיברים ב-
שאלגבריים מעל
. אזי
שדה. למעשה,
הוא תת השדה הגדול ביותר של
שאלגברי מעל
.
דוגמא: לפי מה שעכשיו הראינו, אוסף האיברים האלגבריים מעל ב-
הוא שדה. (למעשה, זה הסגור האלגברי של
.)
דוגמא: יהי שדה ויהי
(שדה השברים של
= שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה
). אזי האיברים האלגבריים מעל
הם רק השדה
.
טענה: יהיו שדות כך ש-
הרחבה אלגברית. אזי איבר
הוא אלגברי מעל
אם ורק אם הוא אלגברי הוא אלגברי מעל
.
הוכחה: כוון אחד ברור מאליו -- אם אלגברי מעל
אז הוא גם אלגברי מעל
. הכוון השני לא טריוויאלי. נניח ש-
אלגברי מעל
אזי קיים פולינום
כך ש-
. יהיו
מקדמי הפולינום
. היות ו-
הרחבה אלגברית, אז כל האיברים
אלגבריים מעל
. לכן, לפי תרגיל מקודם,
הוא שדה ממימד סופי מעל
. בנוסף,
ולכן
אלגברי מעל
. לפי טענה ממקודם, זה אומר ש-
. לכן
. לפי מסקנה מקודם, זה אומר שההרחבה
אלגברית ולכן
אלגברי מעל
.
הערה: בהוכחה היינו צריכים להגדיר את כי לא היה נתון ש-
.
מסקנה: תהי הרחבת שדות ויהי
שדה האיברים ב-
שאלגבריים מעל
. יהי
שדה האיברים ב-
שאלגבריים מעל
. אזי
.
שדות סגורים אלגברית
הגדרה: שדה נקרא סגור אלגברית אם לכל
ממעלה 1 או יותר קיים
כך ש-
. (כלומר, לכל פולינום ממעלה 1 או יותר מעל
יש שורש ב-
.)
טענה: יהי שדה. אזי התנאים הבאים שקולים:
-
סגור אלגברית
- ל-
אין אף הרחבה אלגברית חוץ מ-
(ההרחבה הטריוויאלית).
- כל פולינום ממעלה 1 או יותר מעל
מתפרק לגורמים לינאריים.
הוכחה: תרגיל.
דוגמא: המשפט היסודי של האלגברה אומר ששדה המספרים המרוכבים, , הוא סגור אלגברית.
משפט: לכל קיים שדה
כך ש-
הרחבה אלגברית ו-
סגור אלגברית. השדה
יחיד עד כדי איזומורפיזם של שדות.
סימון: את השדה מהמשפט האחרון נהוג לסמן ב-
. שדה זה נקרא הסגור האלגברי של
.
עוד תרגילים
תרגיל: תהי הרחבת שדות ונניח ש-
סגור אלגברית. יהי
שדה האיברים האלגבריים מעל
ב-
. הוכיחו כי
הוא הסגור האלגברי של
.
תרגיל: האם סגור אלגברית? מדוע?
תרגיל: יהי שדה אינסופי. הוכיחו שהעוצמה של
שווה לעוצמה של
.