שדות - תכונות בסיסיות
תוכן עניינים
הרחבות של שדות
הגדרה: יהיה שדה. הרחבה של היא כינוי לכל שדה המכיל את . לרוב כותבים גם . באופן טבעי הוא מרחב וקטורי מעל . המימד של מעל יסומן ב- (הוא אינו חייב להיות סופי).
דוגמא: היא הרחבת שדות ממימד סופי. היא הרחבת שדות ממימד אינסופי.
טענה: יהיו שדות. אזי .
הרעיון של ההוכחה: אם הוא בסיס ל- כמרחב וקטורי מעל ו- הוא בסיס ל- כמרחב וקטורי מעל אז הקבוצה היא בסיס ל- כמרחב וקטורי מעל והיא בעלת איברים (זה לא טריוויאלי).
תכונה: אם שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של הוא גם שדה.
הגדרה: נניח ש- שדה ו- תת שדות של . הקומפוזיטום של הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את . הוא יסומן ב-.
איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים
הגדרה: תהי הרחבת שדות ו-. האיבר נקרא אלגברי מעל אם קיים פולינום כך ש-. אם לא קיים פולינום כזה, נקרא טרנסצנדנטי מעל .
דוגמא: הוא אלגברי מעל כי הוא מאפס את . לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים הם טרנסצנדנטיים מעל .
הערה: לא קשה להראות כי כמות המספרים המרוכבים האלגבריים מעל היא בת מנייה. לכן, בהכרח קיימים ב- (וגם ב-) איברים טרנסצנדנטיים. (זו הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך שקיימים מספרים טרנצנדנטיים).
דוגמא: יהיה שדה ויהי שדה השברים של . קל לבדוק כי טרנסצנדנטי מעל . למעשה, כל איבר ב- הוא טרנסצנדנטי.
הערה: אם שדות ו- אלגברי מעל אז הוא גם אלגברי מעל . (נובע ישירות ע"י שימוש בהגדרה מכך ש-.)
הגדרה: הרחבת שדות נקראת אלגברית אם כל איבר ב- אלגברי מעל .
סימון: תהי הרחבת שדות ו-. מסמנים .
טענה: תהי הרחבת שדות ו-. אזי אלגברי מעל אם ורק אם המימד של כמרחב וקטורי מעל סופי. במקרה זה שדה.
הוכחה: כוון אחד: נניח ש-. אזי הקבוצה היא בגודל ולכן תלויה לינארית מעל . לכן קיימים , לא כולם 0, כך ש-. אם נגדיר אז ובעצם הראינו . לכן אלגברי מעל .
כוון שני: נניח שקיים כך ש-. נסמן . מספיק להראות ש- קבוצה פורשת (מעל ) ל-. יהי אזי עבור כלשהו. קיימים פולינומים כך ש- וגם . אזי ו- כי .
כדי לראות שבמקרה זה שדה, נשים לב ש- הוא תחום שלמות ממימד סופי מעל ולכן סיימנו הודות לתרגיל הבא:
תרגיל: יהי תחום שלמות ו- שדה כך ש-. אזי שדה. [רמז: לכל ההעתקה היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).]
מסקנה: אם הרחבת שדות ממעלה סופית (כלומר היא הרחבה אלגברית.
תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו
תרגיל: תהי הרחבת שדות ו- אלגבריים מעל . הראו כי שדה והמימד שלו מעל סופי. הראו כי זה תת השדה הקטן ביותר המכיל את ואת . (הערה: מוגדר באופן אינדוקטיבי ע"י . קיימות גם הגדרות שקולות אחרות.)
תרגיל: תהי הרחבת שדות, אלגבריים מעל ו-. הוכיחו כי הקומפוזיטום של ו- הוא .
איברים אלגבריים - מבט מעמיק
טענת עזר: תהי הרחבת שדות ו- אלגבריים. אזי הרחבה אלגברית.
הוכחה: לפי טענה מקודם מספיק להראות ש-. מתקיים ולכן מספיק להראות סופיות של כל אחד מהגורמים במכפלה. לפי אותה טענה כי אלגברי מעל . בנוסף, אלגברי מעל ולכן גם מעל . כעת, אותה טענה גם אומרת כי ולכן גמרנו.
מסקנה: אם הרחבת שדות ו- אלגבריים מעל , אז גם אלגבריים מעל .
תרגיל: בהנחות של המסקנה, אם אז גם אלגברי.
מסקנה: תהי הרחבת שדות. נסמן ב- את כל האיברים ב- שאלגבריים מעל . אזי שדה. למעשה, הוא תת השדה הגדול ביותר של שאלגברי מעל .
דוגמא: לפי מה שעכשיו הראינו, אוסף האיברים האלגבריים מעל ב- הוא שדה. (למעשה, זה הסגור האלגברי של .)
דוגמא: יהי שדה ויהי (שדה השברים של = שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה ). אזי האיברים האלגבריים מעל הם רק השדה .
טענה: יהיו שדות כך ש- הרחבה אלגברית. אזי איבר הוא אלגברי מעל אם ורק אם הוא אלגברי הוא אלגברי מעל .
הוכחה: כוון אחד ברור מאליו -- אם אלגברי מעל אז הוא גם אלגברי מעל . הכוון השני לא טריוויאלי. נניח ש- אלגברי מעל אזי קיים פולינום כך ש-. יהיו מקדמי הפולינום . היות ו- הרחבה אלגברית, אז כל האיברים אלגבריים מעל . לכן, לפי תרגיל מקודם, הוא שדה ממימד סופי מעל . בנוסף, ולכן אלגברי מעל . לפי טענה ממקודם, זה אומר ש-. לכן . לפי מסקנה מקודם, זה אומר שההרחבה אלגברית ולכן אלגברי מעל .
הערה: בהוכחה היינו צריכים להגדיר את כי לא היה נתון ש-.
מסקנה: תהי הרחבת שדות ויהי שדה האיברים ב- שאלגבריים מעל . יהי שדה האיברים ב- שאלגבריים מעל . אזי .
שדות סגורים אלגברית
הגדרה: שדה נקרא סגור אלגברית אם לכל ממעלה 1 או יותר קיים כך ש-. (כלומר, לכל פולינום ממעלה 1 או יותר מעל יש שורש ב-.)
טענה: יהי שדה. אזי התנאים הבאים שקולים:
- סגור אלגברית
- ל- אין אף הרחבה אלגברית חוץ מ- (ההרחבה הטריוויאלית).
- כל פולינום ממעלה 1 או יותר מעל מתפרק לגורמים לינאריים.
הוכחה: תרגיל.
דוגמא: המשפט היסודי של האלגברה אומר ששדה המספרים המרוכבים, , הוא סגור אלגברית.
משפט: לכל קיים שדה כך ש- הרחבה אלגברית ו- סגור אלגברית. השדה יחיד עד כדי איזומורפיזם של שדות.
סימון: את השדה מהמשפט האחרון נהוג לסמן ב-. שדה זה נקרא הסגור האלגברי של .
עוד תרגילים
תרגיל: תהי הרחבת שדות ונניח ש- סגור אלגברית. יהי שדה האיברים האלגבריים מעל ב-. הוכיחו כי הוא הסגור האלגברי של .
תרגיל: האם סגור אלגברית? מדוע?
תרגיל: יהי שדה אינסופי. הוכיחו שהעוצמה של שווה לעוצמה של .