פתרון לינארית 2, אונ' קנט, 2010, יוני, שאלה 25
עבור המטריצה A:
א. לפי פיתוח של שורה ראשונה.
ב. . נמצא את l. עבור l=1 נקבל כלומר לא שווה ל-0, ולכן l גדול ממש מ-1. עבור l=2 נקבל ולכן l=2 כלומר:
ג. לפי הפולינום האופייני
ד. עבור נקבל ולכן מפני ש- נקבל: . אבל . עבור , נחפש את . אבל לפי דירוג המטריצה (לינארית 1) ולכן .
ה. לפי הסעיפים הקודמים נקבל שצורת הז'ורדן מורכת משתי צורות ז'ורדן G1,G2 הקשורות ל-2,1 בהתאמה. מפני שהריבוי האלגברי של הע"ע 2 הוא 1 כלומר היא מגודל 1x1, נקבל . מפני שהריבוי האלגברי של הע"ע 1 הוא 3 כלומר היא מגודל 3x3, והריבוי הגיאומטרי הוא 2 כלומר היא מורכבת משני בלוקים, נקבל . לבסוף קיבלנו:
עבור המטריצה B:
א. לפי היותה של B מצורת משולשית בלוקים.
ב. נמצא את l. עבור l=1 נקבל כלומר לא שווה ל-0, ולכן l גדול ממש מ-1. עבור l=2 נקבל ולכן l=2 כלומר:
ג. לפי הפולינום האופייני
ד. עבור נחפש את . אבל לפי דירוג המטריצה ולכן .
ה. נקבל שצורת הז'ורדן: מפני שהריבוי האלגברי של הע"ע הוא 4 כלומר היא מגודל 4x4, והריבוי הגיאומטרי הוא מגודל 2 כלומר היא מורכבת מ-2 בלוקים, וכן הבלוק הגדול ביותר הוא מגודל 2x2 נקבל:
עבור המטריצה C:
א. לפי פיתוח לפי שורה אחרונה ולאחר מכן פיתוח לפי טור ראשון.
ב. נמצא את l. עבור l=1 נקבל כלומר לא שווה ל-0, ולכן l גדול ממש מ-1. עבור l=2 נקבל ולכן l=2 כלומר:
ג. לפי הפולינום האופייני
ד. עבור נחפש את . אבל לפי דירוג המטריצה ולכן dim(\underset{2}{V}) = 3.
ה. נקבל שצורת הז'ורדן: מפני שהריבוי האלגברי של הע"ע הוא 4 כלומר היא מגודל 4x4, והריבוי הגיאומטרי הוא מגודל 3 כלומר היא מורכבת מ-3 בלוקים, וכן הבלוק הגדול ביותר הוא מגודל 2x2 נקבל: