מדר קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/6.8.12
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־10:07, 6 באוגוסט 2012 מאת אור שחף (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "== משפט הקיום והיחידות == נתון <math>y'=f(x,y)</math> עם תנאי התחלה <math>y(x_0)=y_0</math> === שיטת פיקארד === מתחי...")
תוכן עניינים
משפט הקיום והיחידות
נתון עם תנאי התחלה
שיטת פיקארד
מתחילים עם וממשיכים עם . אזי .
משפט הקיום והיחידות למערכת מד״ר מסדר ראשון בצורה נורמלית
תהי פונקציה וקטורית רציפה ומקיימת תנאי ליפשיץ ב־ בתיבה . אזי למערכת המד״ר יש פתרון אחד ויחיד ב־ כאשר ו־. עתה .
הוכחה
נגדיר סדרת פונציות כך ש־ ו־. לכל מתקיים
- הפונקציות מוגדרות היטב, כלומר . נוכיח באינדוקציה על :
עבור הטענה טריוויאלית שכן . עתה נניח נכונות עבור : . לכן מוגדרת היטב בתיבה וכן רציפה עבור עפ״י ההגדרה. - סדרת הפונקציות מתכנסת במ״ש ב־. ניתן לכתוב עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \phi_{m,k}=\sum_{m=1}^\infty (\phi_{m,k-\phi_{m-1,k})+\phi_{0,k}
. הפונקציה קבועה ולכן הטור מתכנס במ״ש אם הסכום מתכנס במ״ש. מתקיים . נניח ונסמן . אזי לפי תנאי ליפשיץ . נסכום על ואז . נסמן , . נוכיח באינדוקציה נוספת שלכל מתקיים . עבור נקבל עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): |\phi_{1,k}(x)-\phi_{0,k}(x)|=\left|\int\limits_{x_0}^x f_k(t,\vec y_0)\mathrm dt\right\le H(x-x_0)
ולכן . נניח נכונות עבור ואז . כלומר . הטור מתכנס ל־ ולכן סדרת הפונקציות מתכנס במ״ש עבור לפונקציה .
- פתרון של המד״ר: לפי ההגדרה . נשאיף ואז . אזי ולכן פתרון של המד״ר.
………
הערה: וכן ………
………