מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1
1
נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס: .
לפי נוסחה נקבל פתרון יחיד .
המקדם של חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב
וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף x).
פתרון:
נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב וב
.
אם נפתח סוגריים נקבל והמקדם של
שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כש
ו
וערכים חיוביים כש
פתרון:
מתי הביטוי מתאפס: ? לפי נוסחה נקבל
המקדם של שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.
פתרון:
נפרק לשלושה ביטויים: ,
,
, ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.
: ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה
אין פתרון ממשי)
: מתאפס ב
. הביטוי שלילי ביניהם וחיובי ב
או
: מתאפס ב0 וחיובי אחרת.
קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:
: הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה גם חיובית
: הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית
: הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית
: הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית
בנקודות הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי השוויון.
פתרון:
כאשר . שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של n.
השאלה היא מתי מכפלה של n גורמים היא חיובית. התשובה היא כאשר מספר הגורמים השליליים הוא זוגי. כאשר x מספר שלם בין 1 לn, הביטוי מתאפס ולכן זה לא פיתרון.
לכן אנחנו מתעניינים בתחומים . בתחום האחרון,
, כל הגורמים חיוביים ולכן תחום זה הוא תמיד פתרון. נחלק למקרים:
n זוגי: אם x קטן מ1, כל הגורמים שליליים ולכן המכפלה כולה חיובית (כי n זוגי) ולכן זה פתרון. נשארנו עם התחומים מהצורה עבור i בין 1 לn-1. אם i זוגי אז יש עוד מספר זוגי של תחומים כאלה אחריו (כי n זוגי) ולכן המכפלה חיובית. אחרת, יש מספר אי זוגי של גורמים שליליים ולכן המכפלה שלילית.
לכן התשובה עבור n זוגי היא:
עבור n אי זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל:
נחלק למקרים: אם נקבל את אי השוויון
ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם
אם נקבל
, לכן
וסה"כ הפתרונות הם
נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון
פתרון:
נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב לכן נתבונן במקרים:
: אי השוויון הוא
לכן
ו
. התשובה היא
: אי השוויון הוא
לכן
לכן
. התשובה היא
. נאחד את הפתרונות ונקבל:
פתרון:
נחלק למקרים:
: אי השוויון הוא
. נפשט ונקבל
. ביטוי זה חיובי עבור
או
(בדקו!). לכן הפתרון הוא
: אי השוויון הוא
. נפשט ונקבל
ביטוי זה אף פעם לא חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.
פתרון:
נשים לב שלביטוי אין ערך ב. אם
נקבל
וזה לא יתכן. אם
נקבל
וגם זה לא יתכן.
פתרון: אף x לא מקיים את אי השוויון
הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור או
.
: נקבל אי שוויון
. נפשט ונקבל
והפתרון של זה הוא
. סה"כ:
: נקבל אי שוויון
ואחרי פישוט:
. הפתרון הוא
או
לכן סה"כ:
.
: נקבל
. נפשט:
והפתרון הוא
. לכן במקרה זה אין פתרון.
פתרון:
הביטוי הריבועי מתאפס ב . נחלק למקרים:
:
או
לכן סה"כ
:
. לכן סה"כ:
:
. לכן סה"כ:
:
. לכן סה"כ:
:
או
. לכן סה"כ:
פתרון: או
2
נגדיר שתי פונקציות
מצא עבור אילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:
נפריד למקרים:
: במקרה זה אי השוויון הוא
והוא תמיד מתקיים
: אי השוויון הוא
והוא מתקיים עבור
לכן הפתרון הוא
: אי השוויון הוא
לכן הפתרון הוא
ולכן אין פתרון
פתרון:
נפריד למקרים:
: אי השוויון הוא
וריבוע של מספר הוא תמיד אי שלילי לכן זה מתקיים לכל
: ערך הפונקציה הוא 0 ולכן זה לא פתרון
: אי השוויון הוא
וזה לא מתקיים לאף ערך בתחום
פתרון: