אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/תקציר

להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:

[math]\displaystyle{ f,g }[/math] פונקציות.
בהנתן [math]\displaystyle{ a,b }[/math] נסמן [math]\displaystyle{ q=\frac2{b-a} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ q_n=\pi nq }[/math].
[math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math] הם מקדמי פורייה של [math]\displaystyle{ \cos(q_nx),\sin(q_nx) }[/math] (בהתאמה) בטור פורייה של [math]\displaystyle{ f }[/math], ו־[math]\displaystyle{ c_n }[/math] מקדמי פורייה של [math]\displaystyle{ \mathrm e^{\mathrm iq_nx} }[/math] בטור פורייה המרוכב.
[math]\displaystyle{ n!! }[/math] היא העצרת הכפולה של [math]\displaystyle{ n }[/math], והיא שווה למכפלת כל המספרים האי־זוגיים (אם [math]\displaystyle{ n }[/math] אי־זוגי) מ־1 עד [math]\displaystyle{ n }[/math], או כל המספרים הזוגיים (אחרת). כלומר: [math]\displaystyle{ (2n-1)!!=\prod_{k=1}^n (2k-1) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ (2n)!!=\prod_{k=1}^n 2k=2^n n! }[/math].
[math]\displaystyle{ \{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\} }[/math] אורתונורמלית ו־[math]\displaystyle{ \{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\} }[/math] אורתוגונלית.

תזכורות ותוספות לאלגברה לינארית

אי־שוויון הולדר: אם [math]\displaystyle{ x\in\ell_p\ \and\ y\in\ell_q }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \frac1p+\frac1q=1 }[/math] (כלומר, [math]\displaystyle{ \ell_p,\ell_q }[/math] צמודים) אזי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty|x_n\cdot y_n|\le\|x\|_p\cdot\|y\|_q }[/math].
אם [math]\displaystyle{ \mathbf u=\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \forall k:\ a_k=\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle }[/math].
ההיטל של [math]\displaystyle{ \mathbf u }[/math] על [math]\displaystyle{ \mathbf v }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \mbox{proj}_{\mathbf v}(\mathbf u)=\frac{\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle}{\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle}\mathbf v }[/math].
אם [math]\displaystyle{ S=\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\} }[/math] בסיס אורתוגונלי אזי הקירוב הטוב ביותר ל־[math]\displaystyle{ \mathbf u }[/math] ב־[math]\displaystyle{ \mbox{span}(S) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \tilde\mathbf u=\sum_{k=1}^n\mbox{proj}_{\mathbf b_k}(\mathbf u) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \min_{\mathbf v\in W}\|\mathbf u-\mathbf v\|=\|\mathbf u-\tilde\mathbf u\| }[/math].
אי־שוויון בסל: [math]\displaystyle{ \|\mathbf u\|^2\ge\sum_{k=1}^n|\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle|^2 }[/math].
תהליך גרם־שמידט: בהנתן בסיס [math]\displaystyle{ \{\mathbf u_1,\dots,\mathbf u_n\} }[/math] נוכל להגדיר בסיס אורתוגונלי [math]\displaystyle{ \{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\} }[/math] ובסיס אורתונורמלי [math]\displaystyle{ \{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\} }[/math] באופן הבא:
[math]\displaystyle{ \begin{array}{ll}\mathbf b_1:=\mathbf u_1,&\displaystyle\mathbf e_1:=\frac{\mathbf b_1}{\|\mathbf b_1\|}\\\mathbf b_2:=\mathbf u_2-\mbox{proj}_{\mathbf b_1}(\mathbf u_2),&\mathbf e_2:=\displaystyle\frac{\mathbf b_2}{\|\mathbf b_2\|}\\\vdots&\vdots\\\displaystyle\mathbf b_k:=\mathbf u_k-\sum_{i=1}^{k-1}\mbox{proj}_{\mathbf b_i}(\mathbf u_k),&\displaystyle\mathbf e_k:=\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}\\\vdots&\vdots\end{array} }[/math]
מרחב הפולינומים ממעלה [math]\displaystyle{ n }[/math] או פחות מסומן [math]\displaystyle{ P_n[x] }[/math].
פולינומי לז׳נדר: בהנתן המכפלה הפנימית [math]\displaystyle{ \langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1 f(x)g(x)\mathrm dx }[/math] על מרחב הפולינומים [math]\displaystyle{ P_n[x] }[/math], הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס [math]\displaystyle{ \{1,x,x^2,\dots,x^n\} }[/math] הם
[math]\displaystyle{ \begin{array}{l}P_0(x)=1\\P_1(x)=x\\\displaystyle P_2(x)=\frac{3x^2-1}2\\\displaystyle P_3(x)=\frac{5x^3-3x}2\\\vdots\end{array} }[/math]
ניתן לחשב אותם גם ע״י [math]\displaystyle{ P_n(x)=\frac1{2^n\cdot n!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\left(x^2-1\right)^n }[/math] או [math]\displaystyle{ P_{n+1}(x)=\frac{(2n+1)x\cdot P_n(x)-n\cdot P_{n-1}(x)}{n+1} }[/math], והם מקיימים [math]\displaystyle{ \|P_n\|^2=\frac2{2n+1} }[/math].
פולינומי צבישב: בהנתן המכפלה הפנימית [math]\displaystyle{ \langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1\frac{f(x)g(x)}\sqrt{1-x^2}\mathrm dx }[/math] על מרחב הפולינומים [math]\displaystyle{ P_n[x] }[/math], הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס [math]\displaystyle{ \{1,x,x^2,\dots,x^n\} }[/math] הם
[math]\displaystyle{ \begin{array}{l}T_0(x)=1\\T_1(x)=x\\T_2(x)=2x^2-1\\T_3(x)=4x^3-3x\\\vdots\end{array} }[/math]
ניתן לחשב אותם גם ע״י [math]\displaystyle{ T_n(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{(-1)^n(2n-1)!!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\left(1-x^2\right)^{n-\frac12} }[/math] (נוסחת רודריגז) או [math]\displaystyle{ T_{n+1}(x)=2x\cdot T_n(x)-T_{n-1}(x) }[/math], והם מקיימים [math]\displaystyle{ \|T_n\|^2=\begin{cases}\pi,&n=0\\\frac\pi2,&\text{else}\end{cases} }[/math].

טורי פורייה

פונקציה רציפה למקוטעין היא פונקציה רציפה למעט במספר סופי של נקודות אי־רציפות שאינן מסוג שני. הפונקציות הרציפות למקוטעין בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] יוצרות מרחב מכפלה פנימית [math]\displaystyle{ E[a,b] }[/math] עם [math]\displaystyle{ \langle f,g\rangle=q\int\limits_a^b f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx }[/math]. מכפלה פנימית שימושית נוספת היא [math]\displaystyle{ \tfrac12\langle\cdot,\cdot\rangle }[/math].

[math]\displaystyle{ E }[/math] הוא סימון מקוצר ל־[math]\displaystyle{ E[-\pi,\pi] }[/math].

מערכת סגורה: נתונה קבוצה אורתונורמלית אינסופית [math]\displaystyle{ \{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\dots\} }[/math] במרחב מכפלה פנימית. המערכת תקרא סגורה אם היא מקיימת לכל וקטור [math]\displaystyle{ \mathbf u }[/math] את התנאי [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left\|\mathbf u-\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k\right\|=0 }[/math].
המערכות [math]\displaystyle{ \left\{\frac1\sqrt2\right\}\cup\{\cos(q_nx)\}_{n=1}^\infty\cup\{\sin(q_nx)\}_{n=1}^\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \left\{\mathrm e^{\mathrm iq_nx}\right\}_{n\to-\infty}^\infty }[/math] אורתונורמליות סגורות ב־[math]\displaystyle{ E[a,b] }[/math] לפי המכפלות הפנימיות [math]\displaystyle{ \langle\cdot,\cdot\rangle }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \tfrac12\langle\cdot,\cdot\rangle }[/math] בהתאמה.
טור פורייה של [math]\displaystyle{ f }[/math] ב־[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(q_nx)+b_n\sin(q_nx)\Big) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \forall n\in\mathbb N\cup\{0\}:\ a_n:=\langle f,\cos(q_nx)\rangle\ \and\ \forall n\in\mathbb N:\ b_n:=\langle f,\sin(q_nx)\rangle }[/math].

אם [math]\displaystyle{ f }[/math] זוגית זה טור קוסינוסים, ואם היא אי־זוגית זה טור סינוסים.
מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{|a_0|^2}2+\sum_{n=1}^\infty\left(|a_n|^2+|b_n|^2\right)\le\|f\|^2 }[/math].

טור פורייה המרוכב של [math]\displaystyle{ f }[/math] ב־[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \sum_{n\to-\infty}^\infty c_n\mathrm e^{\mathrm iq_nx} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \forall n\in\mathbb Z:\ c_n:=\tfrac12\left\langle f,\mathrm e^{\mathrm iq_nx}\right\rangle=\hat f(q_n) }[/math].

מתקיים [math]\displaystyle{ \forall n\in\mathbb Z:\ c_n=\frac{a_{|n|}-\mathrm i\cdot\sgn(n)b_{|n|}}2 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ a_n=c_n+c_{-n}\ \and\ b_n=\mathrm i(c_n-c_{-n}) }[/math].

אם [math]\displaystyle{ f\in E[a,b] }[/math] ו־[math]\displaystyle{ S_N }[/math] הסכום החלקי ה־[math]\displaystyle{ N }[/math]־י של טור פורייה (מרוכב או ממשי) של [math]\displaystyle{ f }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \lim_{N\to\infty}\|f-S_N\|=0 }[/math].
[math]\displaystyle{ E'[a,b] }[/math] הוא מרחב כל הפוקנציות ב־[math]\displaystyle{ E[a,b] }[/math] שקיימות להן הנגזרות החד־צדדיות בכל נקודה ב־[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] למעט, אולי, בקצות הקטע.
משפט ההתכנסות (משפט דיריכלה): תהי [math]\displaystyle{ f\in E'(\mathbb R) }[/math] אינטגרבילית בהחלט ב־[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ובעלת מחזור [math]\displaystyle{ b-a }[/math]. בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור פורייה ב־[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] מתכנס ל־[math]\displaystyle{ f }[/math].

אם [math]\displaystyle{ f\in E'[c,d] }[/math] אזי ניתן ליצור המשכה מחזורית שלה ב־[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math].
אם [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודת אי־רציפות אזי הטור מתכנס ל־[math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)+\lim_{x\to x_0^-}f(x)\over2 }[/math].

תופעת גיבס: נניח שבנוסף [math]\displaystyle{ f'\in E[a,b] }[/math] ו־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודת אי־רציפות מסוג ראשון של [math]\displaystyle{ f }[/math] כך ש־[math]\displaystyle{ a\lt x_0\lt b }[/math]. כמו כן, [math]\displaystyle{ S_N }[/math] הסכום החלקי ה־[math]\displaystyle{ N }[/math]־י של טור פורייה של [math]\displaystyle{ f }[/math]. אזי קיימת סדרת נקודות [math]\displaystyle{ \{x_n\}_{n=1}^\infty }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ x_n\to x_0\ \and\ \forall n:\ x_n\gt x_0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \lim_{N\to\infty}\frac{S_N(x_N)-f(x_N)}{\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)-\lim_{x\to x_0^-}f(x)}\approx0.0895\dots }[/math], וזו השגיאה המקסימלית.

למת רימן־לבג: אם [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית בהחלט אזי [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\sin(nx)\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\cos(nx)\mathrm dx=0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ n\in\mathbb R }[/math] (זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה).
גרעין דיריכלה: [math]\displaystyle{ \frac12+\sum_{k=1}^n \cos(kx)=\frac{\sin\!\left(\left(n+\frac12\right)x\right)}{2\sin\!\left(\frac x2\right)} }[/math]. בנוסף, האינטגרל של הביטוי ב־[math]\displaystyle{ (-\pi,\pi) }[/math] שווה ל־[math]\displaystyle{ \pi }[/math].
אם [math]\displaystyle{ f\in E'[a,b] }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(a)=f(b) }[/math] אז טור פורייה של [math]\displaystyle{ f }[/math] יתכנס אליה במ״ש על הקטע.
שוויון פרסבל: אם [math]\displaystyle{ f\in E[a,b] }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \|f\|^2=q\int\limits_a^b |f(x)|^2\mathrm dx=\frac{|a_0|^2}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(|a_n|^2+|b_n|^2\Big) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac{\|f\|^2}2=\frac q2\int\limits_a^b |f(x)|^2\mathrm dx=\sum_{n\to-\infty}^\infty |c_n|^2 }[/math].

שוויון פרסבל המוכלל: אם [math]\displaystyle{ f,g\in E[a,b] }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \langle f,g\rangle=q\int\limits_a^b f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx=\frac{a_0\overline{c_0}}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\overline{c_n}+b_n\overline{d_n}\Big) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ g(x)\sim\frac{c_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(c_n\cos(q_nx)+d_n\sin(q_nx)\Big) }[/math].

אם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], [math]\displaystyle{ f(a)=f(b) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f'\in E[a,b] }[/math] אזי טור פורייה של [math]\displaystyle{ f }[/math] גזיר איבר־איבר ומתקיים [math]\displaystyle{ f'(x)\sim\sum_{n=1}^\infty\big(q_n b_n\cos(q_nx)-q_n a_n\sin(q_nx)\Big)=\sum_{n\to-\infty}^\infty \mathrm iq_nc_n\mathrm e^{\mathrm iq_nx} }[/math].
אם [math]\displaystyle{ f\in E[a,b] }[/math] אזי ניתן לבצע אינטגרציה איבר־איבר על טור פורייה. בנוסף, לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ m\in[a,b) }[/math] מתקיים
[math]\displaystyle{ \begin{align}\int\limits_m^x f(t)\mathrm dt&=\frac{a_0}2(x-m)+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{a_n}{q_n}(\sin(q_nx)-\sin(q_nm))-\frac{b_n}{q_n}(\cos(q_nx)-\cos(q_nm))\right)\\&=c_0(x-m)+\sum_{n\ne0}\frac{c_n}{\mathrm iq_n}\left(\mathrm e^{\mathrm iq_nx}-\mathrm e^{\mathrm iq_nm}\right)\end{align} }[/math]
והטורים מתכנסים במ״ש.

אם [math]\displaystyle{ F }[/math] קדומה ל־[math]\displaystyle{ f }[/math] ב־[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אזי [math]\displaystyle{ F(x)=\frac{a_0}2x+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{a_n}{q_n}\sin(q_nx)-\frac{b_n}{q_n}\cos(q_nx)\right)+\frac q2\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx }[/math].

התמרות פורייה

[math]\displaystyle{ G(\mathbb R) }[/math] הוא המרחב הלינארי של כל הפונקציות המוגדרות מ־[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] ל־[math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math] שהן רציפות למקוטעין ואינטגרביליות בהחלט ב־[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math].
התמרת פורייה: [math]\displaystyle{ \hat f=\mathcal F(f):\mathbb R\to\mathbb C }[/math] נקראת "התמרת פורייה של [math]\displaystyle{ f }[/math]" ומוגדרת ע״י [math]\displaystyle{ \hat f(\omega):=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx }[/math].
אם [math]\displaystyle{ f\in G(\mathbb R) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \hat f }[/math] מוגדרת ורציפה בכל נקודה [math]\displaystyle{ \omega\in\mathbb R }[/math]. בנוסף, [math]\displaystyle{ \lim_{\omega\to\pm\infty}\hat f(\omega)=0 }[/math].
לכל [math]\displaystyle{ f,g\in G(\mathbb R) }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb C }[/math] מתקיים:

[math]\displaystyle{ \mathcal F(af+bg)=a\mathcal F(f)+b\mathcal F(g) }[/math]
אם [math]\displaystyle{ f }[/math] ממשית אזי [math]\displaystyle{ \hat f(-\omega)=\overline{\hat f(\omega)} }[/math].

מקרה פרטי: אם [math]\displaystyle{ f }[/math] ממשית וזוגית אזי [math]\displaystyle{ \hat f(\omega)=\hat f(-\omega) }[/math] והיא פונקציה ממשית.
מקרה פרטי: אם [math]\displaystyle{ f }[/math] ממשית ואי־זוגית אזי [math]\displaystyle{ \hat f(-\omega)=-\hat f(\omega) }[/math] והיא פונקציה מדומה.

אם [math]\displaystyle{ f }[/math] מדומה אזי [math]\displaystyle{ \hat f(-\omega)=-\overline{\hat f(\omega)} }[/math].
אם [math]\displaystyle{ a\ne0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \mathcal F(f(ax+b))(\omega)=\frac1{|a|}\exp\!\left(\frac{\mathrm ib\omega}2\right)\mathcal F(f)\left(\frac\omega a\right) }[/math].
אם [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \mathcal F\!\left(\mathrm e^{\mathrm iax}f(x)\right)(\omega)=\mathcal F(f)(\omega-a) }[/math].
אם [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \mathcal F(\cos(ax)f(x))(\omega)=\frac{\mathcal F(f)(\omega-a)-\mathcal F(f)(\omega+a)}2 }[/math].
אם [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \mathcal F(\sin(ax)f(x))(\omega)=\frac{\mathcal F(f)(\omega-a)-\mathcal F(f)(\omega+a)}{2\mathrm i} }[/math].
אם [math]\displaystyle{ f,f',\dots,f^{(n)}\in G(\mathbb R) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \lim_{x\to\pm\infty}=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \mathcal F\!\left(f^{(n)}\right)(\omega)=(\mathrm i\omega)^n\mathcal F(f)(\omega) }[/math].

מקרה פרטי: אם [math]\displaystyle{ f,f'\in G(\mathbb R) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \lim_{x\to\pm\infty}=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \mathcal F(f')(\omega)=\mathrm i\omega\mathcal F(f)(\omega) }[/math].

אם [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^\infty x|f(x)|\mathrm dx }[/math] מתכנס אזי [math]\displaystyle{ \hat f }[/math] גזירה ברציפות ומתקיים [math]\displaystyle{ \mathcal F\!\left(x^n f(x)\right)(\omega)=\mathrm i^n\frac{\mathrm d^n}{\mathrm d\omega^n}\mathcal F(f)(\omega) }[/math].

התמרת פורייה ההפוכה: אם [math]\displaystyle{ f\in G(\mathbb R) }[/math] אזי בכל נקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] שבה קיימות הנגזרות החד־צדדיות מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)+\lim_{x\to x_0^-}f(x)}2=\lim_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^R\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega }[/math].

מקרה פרטי: אם [math]\displaystyle{ f'\in E(\mathbb R) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega }[/math].

עקרון הדואליות של ההתמרה וההתמרה ההפוכה: תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ f'\in E(\mathbb R) }[/math], ונרצה למצוא את התמרת פורייה של ההתמרה [math]\displaystyle{ \hat f }[/math] שלה. נוכל להציב [math]\displaystyle{ x:=-\omega,\ \omega:=x }[/math] ב־[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega=f(x) }[/math], לחלק את שני האגפים ב־[math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] ולקבל [math]\displaystyle{ \hat\hat f(\omega)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(x)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx=\frac{f(-\omega)}{2\pi} }[/math].
אם [math]\displaystyle{ f,g\in G(\mathbb R) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\overline{\hat g(\omega)}\mathrm d\omega }[/math] מתכנסים אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx=2\pi\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\overline{\hat g(\omega)}\mathrm d\omega }[/math].

מקרה פרטי: נוסחת פלנרשל (Plancherel): אם [math]\displaystyle{ f\in G(\mathbb R) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\mathrm dx }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \int\limits_{\infty}^\infty \left|\hat f(\omega)\right|^2\mathrm d\omega }[/math] מתכנסים אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\mathrm dx=2\pi\int\limits_{-\infty}^\infty\left|\hat f(\omega)\right|^2\mathrm d\omega }[/math].

קונבולוציה: יהיו [math]\displaystyle{ f,g:\mathbb R\to\mathbb R }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \forall x\in\mathbb R:\ (f*g)(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(x-t)g(t)\mathrm dt }[/math].
[math]\displaystyle{ f*g=g*f }[/math]
[math]\displaystyle{ (f*g)*h=f*(g*h) }[/math]
[math]\displaystyle{ f*(g+h)=f*g+f*h }[/math]
אם [math]\displaystyle{ f,g }[/math] אינטגרביליות בהחלט אז [math]\displaystyle{ f*g }[/math] מוגדרת עבורן בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] וגם היא אינטגרבילית בהחלט.
משפט הקונבולוציה: [math]\displaystyle{ \forall f,g\in G(\mathbb R):\ \mathcal F(f*g)=2\pi\mathcal F(f)\mathcal F(g) }[/math].

שימוש חשוב: נניח שידועות [math]\displaystyle{ f,g,\hat f,\hat g }[/math] ונרצה למצוא [math]\displaystyle{ h }[/math] כך ש־[math]\displaystyle{ \hat h=\hat f\cdot\hat g }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ h=\frac1{2\pi}f*g }[/math].

התמרות פורייה שימושיות

[math]\displaystyle{ \mathcal F\left(\mathrm e^{-|x|}\right)(\omega)=\frac1{\pi(1+\omega^2)} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathcal F\left(\mathrm e^{-x^2}\right)(\omega)=\frac{\mathrm e^{-\omega^2/4}}{2\sqrt\pi} }[/math] (הוכחה ע״י חישוב הנגזרת של האינטגרל שמגדיר את ההתמרה ופתרון המד״ר המתקבלת: [math]\displaystyle{ \hat f'(\omega)=-\frac\omega2\hat f(\omega) }[/math]).
עבור [math]\displaystyle{ a\ge0 }[/math]: [math]\displaystyle{ \mathcal F(1_{[-a,a]})=\frac{\sin(a\omega)}{\pi\omega} }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ 1_A }[/math] היא הפונקציה המציינת של קבוצה [math]\displaystyle{ A }[/math], ומוגדרת ע״י [math]\displaystyle{ 1_A(x)=\begin{cases}1,&x\in A\\0,&\text{else}\end{cases} }[/math]).

מד״ח

מעבר חום: נתונה המד״ח [math]\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} }[/math] ([math]\displaystyle{ k }[/math] קבוע) עם תנאי ההתחלה [math]\displaystyle{ \forall -L\le x\le L:\ u(x,0)=f(x) }[/math] ותנאי השפה [math]\displaystyle{ \forall t\ge0:\ u(-L,t)=u(L,t)\ \and\ \frac{\partial u}{\partial x}(-L,t)=\frac{\partial u}{\partial x}(L,t) }[/math].

שיטת הפרדת משתנים: נניח שניתן להציג את הפתרון [math]\displaystyle{ u(x,t) }[/math] כמכפלה [math]\displaystyle{ X(x)\cdot T(t) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \frac{T'}{k T}=\frac{X''}X=:-\lambda }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] מספר חיובי (אם אי־חיובי תנאי השפה לא יתקיימו). מקבלים שתי מד״ר נפרדות: [math]\displaystyle{ \begin{cases}X''+\lambda X=0\\T'+\lambda T=0\end{cases} }[/math]. לגבי המד״ר הראשונה, תנאי השפה דורשים ש־[math]\displaystyle{ \lambda=\frac{\pi^2n^2}{L^2} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N\cup\{0\} }[/math] ולכן, עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] נתון, [math]\displaystyle{ X_n(x)=a_n\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)+b_n\cos\!\left(\frac{\pi n}L x\right) }[/math] פתרון עבור [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math] כרצוננו. לגבי המד״ר השנייה, [math]\displaystyle{ T_n(t)=\exp\!\left(-k\frac{\pi^2n^2}{L^2}t\right) }[/math] הוא פתרון עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] נתון. הפתרון הכללי של [math]\displaystyle{ u }[/math] הוא צירוף לינארי של פתרונות הבסיס: [math]\displaystyle{ u(x,t)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\exp\!\left(-k\frac{\pi^2n^2}{L^2}t\right)\left(a_n\cos\!\left(\frac{\pi n}L x\right)+b_n\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\right) }[/math], כאשר מתנאי ההתחלה נובע ש־[math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math] מקדמי טור פורייה של [math]\displaystyle{ f }[/math] ב־[math]\displaystyle{ [-L,L] }[/math].
שימוש בהתמרת פורייה: נסמן [math]\displaystyle{ \hat u(\omega,t)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty u(x,t)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx }[/math] (כלומר, זו התמרת פורייה של [math]\displaystyle{ u }[/math] לפי [math]\displaystyle{ x }[/math]). לפי המד״ח [math]\displaystyle{ \frac{\partial\hat u}{\partial t}(\omega,t)=\frac k{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx=k\mathcal F\!\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\right)(\omega,t)=k(\mathrm i\omega)^2\hat u(\omega,t) }[/math]. פתרונה של המד״ר הזו הוא [math]\displaystyle{ \hat u(\omega,t)=A(\omega)\mathrm e^{-k\omega^2t} }[/math], והצבה של [math]\displaystyle{ t=0 }[/math] תתן [math]\displaystyle{ A(\omega)=\hat u(\omega,0)=\hat f(\omega) }[/math]. עתה נחפש פונקציה [math]\displaystyle{ g }[/math] כך שהתמרת פורייה שלה לפי [math]\displaystyle{ x }[/math] תהא [math]\displaystyle{ \hat g(\omega,t)=\mathrm e^{-k\omega^2 t} }[/math]. לפי ההתמרה של [math]\displaystyle{ \mathrm e^{-x^2} }[/math] וכמה מתכונות ההתמרה נקבל [math]\displaystyle{ g(x,t)=\sqrt\frac\pi{kt}\exp\!\left(-\frac{x^2}{4kt}\right) }[/math] ולכן, לפי משפט הקונבולוציה, [math]\displaystyle{ u(x,t)=\frac{g(x,t)*f(x)}{2\pi}=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty f(s)\sqrt\frac\pi{kt}\exp\!\left(-\frac{(x-s)^2}{4kt}\right)\mathrm ds }[/math].

משוואות גלים: נתונה המד״ח [math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=k^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} }[/math] ([math]\displaystyle{ k\ne0 }[/math] קבוע) עם תנאי ההתחלה [math]\displaystyle{ u(x,0)=\varphi(x) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=\psi(x) }[/math] ותנאי שפה [math]\displaystyle{ u(0,t)=u(L,t)=0 }[/math]. נניח כי הפתרון מוצג כמכפלה [math]\displaystyle{ X(x)\cdot T(t) }[/math] (שיטת הפרדת משתנים) ולכן [math]\displaystyle{ \frac{T''}{k^2 T}=\frac{X''}X=:-\lambda }[/math] עבור [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] מספר חיובי. נקבל שתי מד״ר נפרדות: [math]\displaystyle{ \begin{cases}X''+\lambda X=0\\T''+k^2\lambda T=0\end{cases} }[/math], ובאופן דומה למה שעשינו במשוואות מעבר חום נקבל [math]\displaystyle{ u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)+b_n\sin\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)\right)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a_n=\frac2L\int\limits_0^L\varphi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx\ \and\ b_n=\frac2{\pi kn}\int\limits_0^L\psi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx }[/math].