88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעג/פתרון מועד א - גרסת שנפס
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־11:56, 28 בינואר 2013 מאת איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "==שאלה 1== ===סעיף ב=== ידוע כי <math>\liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cdot n)>0</math> נניח ש <math>\liminf_{n\rightarrow \infty}(a_n \cd...")
שאלה 1
סעיף ב
ידוע כי
נניח ש
נסמן
כלומר
טענת עזר: קיים כך שאם
אז
(במילים אחרות: יש רק מספר סופי של איברים ב שיותר קטנים מ
)
הוכחה: נניח בשלילה שזה לא נכון, כלומר קיימים אינסוף איברים מ שעבורם
אז קיימת תת סדרה כך ש
לכל
נשים לב ש היא חסומה מלרע ולכן
חסומה גם מלעיל וגם מלרע.
לכן ל יש תת סדרה מתכנסת
כך ש
וזאת בסתירה לכך ש
זה מוכיח את טענת העזר.
כעת, אנחנו יודעים שהחל מ כלשהוא מתקיים
אבל בגלל ש זה אומר שהחל מאותו
מתקיים
בגלל שהטור
מתבדר
נובע ממבחן ההשוואה לטורים חיוביים שגם הטור מתבדר.