משתמש:איתמר שטיין
הגרדיאנט הוא:
אם נשווה אותו ל ונקבל:
נקבל שאם או
שתי המשוואות מתקיימות.
אם , נקבל שהמשוואות הן:
הפתרון של המערכת הזאת הוא:
ולכן כלל הנקודות הקריטיות הן:
עכשיו צריך לסווג
מטריצת ההסיאן היא:
כמובן שהצבה של או
לא תקדם אותנו יותר מדי.
אם נציב נקבל (אם אין לי טעות חישוב):
המינור הראשון שלילי והמינור השני חיובי, לכן זו מטריצה שלילית (לחלוטין) ולכן זו נקודת מקסימום.
עכשיו צריך למיין ידנית את שאר הנקודות.
נתחיל בנקודות שעל ציר .
נביט על נקודה כלשהיא .
אם נתקדם לאורך הישר (שעובר כמובן ב
).
אז
אם אז הפונקציה שלנו שלילית כש
וחיובית כש
אם אז הפונקציה שלנו חיובית כש
ושלילית כש
בכל מקרה היא לא תהיה נקודת קיצון.
נותר לבדוק את הנקודה .
אם נתקדם לאורך הישר נקבל ש
ולכן
היא מקסימום לאורך הקו הזה.
אבל אם נתקדם לאורך הישר נקבל ש
נקבל ש
היא נקודת מינימום לאורך הקו הזה.
לכן היא גם נקודת אוכף.
סיכום ביניים: כל ציר הוא נקודות אוכף.
כעת נעבור לציר .